Topologia, zadanie nr 1826
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
dzoannam89 post贸w: 34 |  2013-12-17 11:01:56Niech $\left\{ x_n\right\}$ b臋dzie ci膮giem w przestrzeni metrycznej $(X,d)$ spe艂niaj膮cym warunek: (A)$\lim_{n\to\infty}$ $d(x_n,x_{n+1})=0$ 1)Wyka偶, 偶e je偶eli ci膮g $\left\{ x_n\right\}$ spe艂nia warunek (A), to spe艂nia tak偶e warunek : (B)$\forall k\ge 2\lim_{n \to \infty}$ $d(x_n,x_{n+k})=0$ 2)Wyka偶, 偶e je偶eli ci膮g $\left\{ x_n\right\}$ jest zbie偶ny, to $\left\{ x_n\right\}$ spe艂nia warunek (A). 3)Wska偶 ci膮g $\left\{ x_n\right\} \subset R^2$, kt贸ry spe艂nia warunek (A), lecz nie jest zbie偶ny. 4) Niech X b臋dzie przestrzeni膮 metryczn膮 zwart膮. Czy z warunku (A), wynika 偶e ${x_n}$ jest zbie偶ny: podaj dow贸d i kontrprzyk艂ad. 5)Czym si臋 r贸偶ni warunek zbie偶no艣ci ci膮gu Cauchy\'ego od warunku (B)? Bardzo prosz臋 o pomoc:( Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2013-12-17 11:02:18 przez dzoannam89 |
tumor post贸w: 8070 | 2013-12-22 08:57:19 1) Warunek (A) m贸wi, 偶e dla ka偶dego $\epsilon>0$ od pewnego miejsca spe艂niony jest warunek $d(x_n,x_{n+1})<\epsilon$. Je艣li ustalimy $k\ge 2$, to od pewnego miejsca mamy $d(x_n,x_{n+1})<\frac{\epsilon}{k}$ $d(x_{n+1},x_{n+2})<\frac{\epsilon}{k}$ ... $d(x_{n+k-1},x_{n+k})<\frac{\epsilon}{k}$ co z warunku tr贸jk膮ta daje $d(x_{n},x_{n+k})<k*\frac{\epsilon}{k}=\epsilon$ czyli warunek (B) Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2013-12-22 09:10:29 przez tumor |
tumor post贸w: 8070 | 2013-12-22 09:02:07 2) je艣li ci膮g $\{x_n\}$ jest zbie偶ny do granicy $x$, to dla ka偶dego $\epsilon>0$ istnieje $n_0$, 偶e dla $n>n_0$ mamy $d(x_n,x)<\epsilon$ Czyli przy ustalonym $\epsilon>0$ istnieje $n_0$, 偶e dla $n>n_0$ mamy $d(x_n,x)<\frac{\epsilon}{2}$ $d(x_{n+1},x)<\frac{\epsilon}{2}$ co z warunku tr贸jk膮ta daje $d(x_{n+1},x_n)<2*\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$ co oznacza (A) |
tumor post贸w: 8070 | 2013-12-22 09:05:42 3) Wyobra藕 sobie okr膮g, powiedzmy o promieniu $1$ (ale to dowolne), a wyrazy ci膮gu $\{x_n\}$ znajduj膮 si臋 na okr臋gu i wyraz $x_{n+1}$ jest w stosunku do poprzedniego przesuni臋ty o k膮t $\frac{\pi}{n}$. (tylko to 艂adnie zapisz. Przy u偶yciu sin i cos :P) |
tumor post贸w: 8070 | 2013-12-22 09:08:22 4) w艂a艣nie by艂em sprytny i da艂em kontrprzyk艂ad w 3) Mo偶emy wzi膮膰 zwarty podzbi贸r $R^2$ taki, 偶e wci膮偶 mo偶emy w nim wklei膰 okr膮g. |
tumor post贸w: 8070 | 2013-12-22 09:17:17 5) r贸偶ni si臋 kolejno艣ci膮 kwantyfikator贸w. W warunku Cauchy\'ego mamy $\forall_{\epsilon>0} \exists_{n_0>0} \forall_{n>n_0}\forall_{k\ge 2} d(x_n,x_{n+k})<\epsilon$ a w warunku (B) mamy $\forall_{\epsilon>0}\forall_{k\ge 2} \exists_{n_0>0} \forall_{n>n_0} d(x_n,x_{n+k})<\epsilon$ Jak wida膰 w warunku Cauchy\'ego $n_0$ nie jest zale偶ne od $k$, a w warunku (B) jest. Mo偶emy dobiera膰 oddzielnie dla r贸偶nych $k$, co nam nie gwarantuje zbie偶no艣ci nawet w przestrzeni zwartej. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj