Teoria mnogo艣ci, zadanie nr 1848
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
onlyhope69 post贸w: 20 |  2013-12-31 11:23:26Prosz臋 o pokazanie w jaki spos贸b rozwi膮za膰 zadanie tego typu bo kompletnie sobie z tym nie radz臋 . 1. Zbadaj, czy relacja R $\subset$ $X^{2}$ jest relacj膮 r贸wnowa偶no艣ci, dla relacji r贸wnowa偶no艣ci opisz klasy r贸wnowa偶no艣ci a) X=N\{1},nRm$\iff$ NWD (n,m)> 1 b) X=N, nRm $\iff$ a||m-n| a$\in$\{1} c) $X=N^{2}$ (n,m)R(k,l) $\iff$ n+l=m+k d) $X=R^{2}$ (x,y)R(z,w) $\iff$ $x^{2}$+$y^{2}$=$z^{2}$+$w^{2}$ Z g贸ry dzi臋kuje za pomoc :) |
tumor post贸w: 8070 | 2013-12-31 13:55:16 A w jaki spos贸b sprawdzasz, czy ser jest w lod贸wce, gdy ju偶 stoisz naprzeciw otwartej lod贸wki? U偶ywasz jakiej艣 magii czy tylko patrzysz? :) Tu pytaj膮 ci臋, czy to 偶贸艂te w folii to kostka sera czy nie kostka sera. Zatem si臋 przypatrz i powiedz. Kostk臋 sera poznajemy po tym, 偶e jest - zwrotna - symetryczna - przechodnia Natomiast cho膰by by艂o 偶贸艂te, to je艣li nie spe艂nia tych warunk贸w, jest to jaka艣 seropodobna podr贸ba. a) warunek zwrotno艣ci m贸wi, 偶e $\forall_{x\in X} xRx$ Czy tu jest prawd膮, 偶e $NWD(x,x)>1$? Jest, bo $NWD(x,x)=x\in N\backslash \{1\}$ warunek symetrii m贸wi, 偶e $\forall_{x,y} xRy \iff yRx$ Ale oczywi艣cie $NWD(x,y)=NWD(y,x)$, zatem je艣li $NWD(x,y)>1$ to tak偶e $NWD(y,x)>1$, czyli jest symetryczna. warunek przechodnio艣ci m贸wi, 偶e $\forall_{x,y,z} xRy \wedge yRz \Rightarrow xRz$ Czy jest tak, 偶e gdy $NWD(x,y)>1$ oraz $NWD(y,z)>1$, to tak偶e musi by膰 $NWD(x,z)>1$? Nie, nie musi tak by膰. Na przyk艂ad dla $x=2,y=6,z=3$ warunek ten nie zachodzi. Zatem ta relacja nie jest serem, cho膰 nie藕le udawa艂a. |
tumor post贸w: 8070 | 2013-12-31 14:13:47 b) czytelniej prosz臋 c) elementami s膮 pary liczb naturalnych (i dla rozwi膮zania nie ma znaczenia, czy m贸wimy o liczbach naturalnych z zerem czy bez zera) Sprawdzamy zwrotno艣膰, czyli pytamy, czy para liczb jest w relacji sama ze sob膮. Czyli, czy $(m,n)R(m,n)$. Czyli, czy $m+n=m+n$. To oczywi艣cie prawda, czyli relacja zwrotna. Symetryczno艣膰, czyli czy gdy zachodzi $(m,n)R(k,l)$ to musi zarazem zachodzi膰 $(k,l)R(m,n)$. Ale przecie偶 to zn贸w do艣膰 jasne, 偶e je艣li $m+l=n+k$, to i w drug膮 stron臋 $k+n=m+l$. A skoro tak, to warunek spe艂niony i relacja symetryczna. Przechodnio艣膰, czyli czy je艣li $(m,n)R(k,l)$ i $(k,l)R(p,q)$, to musi zachodzi膰 tak偶e $(m,n)R(p,q)$. Ale je艣li $m+l=n+k$ oraz $k+q=l+p$, to w贸wczas $m+q=n+k-l+l+p-k=n+p$, a to dowodzi przechodnio艣ci. Zatem mamy tu zdecydowanie do czynienia z serem. Skoro tak, to nale偶y wyznaczy膰 klasy r贸wnowa偶no艣ci. Dla ka偶dej pary liczb jej klas膮 r贸wnowa偶no艣ci s膮 te pary, kt贸re s膮 z ni膮 w relacji. Sprytnie b臋dzie wypisa膰 te klasy abstrakcji w dw贸ch grupach: $[(n,0)] = \{(a,b)\in N^2:a=n+b\}$ dla wszystkich $n\in N\cup \{0\}$ oraz $[(0,m)]=\{(a,b)\in N^2:b=m+a\}$ dla wszystkich $m\in N\backslash \{0\}$ Poobserwuj troch臋 ten zapis. Zauwa偶, 偶e WSZYSTKIE pary liczb naturalnych nale偶膮 do kt贸rej艣 klasy abstrakcji. Zarazem jednak je艣li we藕miesz po parze z r贸偶nych klas abstrakcji, nie s膮 one w relacji. ------ Uwaga pierwsza. Napisa艂em, 偶e nie ma znaczenia, czy bierzemy naturalne z zerem czy bez. Domy艣lnie liczy艂em z zerem, je艣li ma by膰 bez zera, to w klasach abstrakcji trzeba wprowadzi膰 drobne, naprawd臋 drobne modyfikacje. Uwaga druga. Zbi贸r klas abstrakcji, kt贸re napisa艂em powy偶ej, po dodaniu odpowiednich dzia艂a艅, nazywa si臋 liczbami ca艂kowitymi. Tak wi臋c od teraz mo偶esz ju偶 pami臋ta膰, 偶e liczby ca艂kowite to zbi贸r klas abstrakcji pewnej relacji r贸wnowa偶no艣ci w zbiorze par liczb naturalnych. :) |
onlyhope69 post贸w: 20 | 2014-01-01 22:59:18 Dzi臋kuje za rozwi膮zanie i wyjasnienie ;) Mam pytanie czy je艣li chc臋 zmienic klasy abstrakcji zeby liczby naturalne byly bez zera to b臋dzie to wygl膮da膰 w ten spos贸b ? (n,1)={(a,b)$\in$$N^{2}$: a=n+b-1 ; n$\in$N} (1,m)={(a,b)$\in$$N^{2}$:b=m+a-1;m$\in$N} W podpunkcie b) zgubi艂am N :b) X=N, nRm $\iff$ a| |m-n| a$\in$N\{1} Spr ze podpunkt b i c to relacje r贸wnowa偶nosci chociaz w b nie jestem pewna co do przechodnio艣ci. Jednak nadal mam problem z klasami abstrakcji . :( Jest jakis sposob na wyznaczanie tych klas?:P |
tumor post贸w: 8070 | 2014-01-01 23:49:41 艂adniej b臋dzie $[(n,1)]=\{(a,b)\in N^2:a+1=b+n\}$ dla $n\in N$ $[(1,m)]=\{(a,b)\in N^2:1+b=m+a\}$ dla $m \in N \backslash \{1\} $ Nawiasy nie s膮 bez znaczenia. Je艣li zmienisz sobie troch臋, to sens zmieniasz bardzo. $(a,b)$ - para $[(a,b)]$ - klasa abstrakcji wyznaczona przez par臋 Klasa abstrakcji jest zbiorem par. Przy tym dla jednego n mamy jedn膮 klas臋 abstrakcji. W Twoim rozwi膮zaniu n zmienia si臋 dla jednej klasy abstrakcji, co nie jest sensowne. Inna rzecz, 偶e nie ma sensu wymienia膰 i $n=1$ i $m=1$, bo to ta sama klasa abstrakcji $[(1,1)]$. W przyk艂adzie wy偶ej te偶 raz wzi膮艂em naturalne z zerem, a raz bez, 偶eby nie powt贸rzy膰 klasy abstrakcji. Jeszcze inna rzecz to u偶ycie znaku $-$. Gdy konstruujemy zbiory liczbowe, definiujemy odpowiednio dzia艂ania. W zbiorze liczb naturalnych dzia艂aniami s膮 dodawanie i mno偶enie (wyniki nie wyprowadzaj膮 poza ten zbi贸r). Nast臋pnie wprowadza si臋 relacj臋, kt贸r膮 tu rozpatrujemy. Nie ma jeszcze definicji odejmowania, wi臋c si臋 jej nie u偶ywa. Dopiero nast臋pnie wprowadza si臋 odejmowanie klas abstrakcji jako dodawanie innych klas abstrakcji :P Dlatego o ile zapis jest intuicyjnie zrozumia艂y, o tyle u偶ycie minusa powoduje brak formalnej poprawno艣ci. Z gimnazjum znasz liczby ca艂kowite. Na studiach liczb臋 naturaln膮 n zapisywa膰 b臋dziemy n. Natomiast to, co znasz jako liczb臋 ca艂kowit膮 nieujemn膮 n, formalnie by trzeba zapisa膰 jako $[(n,0)]$ albo r贸wnowa偶nie $[(n+1,1)]$, a liczb臋 ujemn膮 ca艂kowit膮 -n jako $[(0,n)]$ lub r贸wnowa偶nie $[(1,n+1)]$ |
tumor post贸w: 8070 | 2014-01-02 00:10:25 Relacja r贸wnowa偶no艣ci polega na tym, 偶e dzieli zbi贸r na niepuste i roz艂膮czne podzbiory (wyznacza podzia艂 zbioru). W relacji z c) mamy zbi贸r par liczb naturalnych. KA呕DA para ma by膰 w DOK艁ADNIE JEDNEJ klasie abstrakcji. Wi臋c bierzesz jedn膮 par臋 liczb naturalnych, ona wyznacza klas臋 abstrakcji, do kt贸rej nale偶y sama i do kt贸rej nale偶膮 te偶 by膰 mo偶e inne pary. I tych par ju偶 nie musisz wymienia膰, bo nigdzie indziej ich nie b臋dzie. Bierzesz inn膮 par臋, niewymienion膮 wcze艣niej, ona wyznacza klas臋 abstrakcji, sama do niej nale偶y. By膰 mo偶e nale偶膮 te偶 inne pary - odhaczone. I post臋pujesz w ten spos贸b a偶 wyczerpi膮 si臋 pary liczb naturalnych. :) b) $a\in N \backslash \{1\}$ Dwa elementy s膮 w relacji, je艣li ich r贸偶nica jest podzielna przez $a$, czyli je艣li maj膮 identyczne reszty z dzielenia przez $a$. Relacja ta jest zwrotna, bo oczywi艣cie $a$ dzieli $|n-n|$ Relacja jest symetryczna, bo (oczywi艣cie) je艣li $a$ dzieli $|n-m|$ to dzieli te偶 $|m-n|$, bo $|m-n|=|n-m|$ Niech teraz $nRm$ i $mRp$, czyli $a$ dzieli $|m-n|$ i $a$ dzieli $|p-m|$ skoro tak, to $m=ak+r_m, n=al+r_n, p=aq+r_p$, gdzie $k,l,q$ s膮 ca艂kowite nieujemne, natomiast $r_n, r_m, r_p$ s膮 resztami z dzielenia $n,m,p$ przez $a$. Oczywi艣cie wtedy $r_n=r_m=r_p$, zatem tak偶e $a$ dzieli $|p-n|$ Klasy abstrakcji to $[b]$ dla $b \in \{1,2,...,a\}$ gdzie oczywi艣cie $[b]=\{n\in N: a| |n-b|\}$ I jeszcze drobna uwaga: $a$ jest sta艂膮. Najpierw powinni艣my ustali膰 $a$, potem dopiero m贸wi膰 o relacji. d) - mo偶e spr贸buj? podobnie do wcze艣niejszych. Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2014-01-02 00:11:07 przez tumor |
onlyhope69 post贸w: 20 | 2014-01-02 19:26:05 $[(x,0)]$={(z,w)$\in$$R^{2}$: |x|= $\sqrt{z^{2}+w^{2}}$} dla x$\in$R ??? cos niezbyt mi sie widzi ;/ |
tumor post贸w: 8070 | 2014-01-02 20:09:24 czemu nie? Bardzo 艂adnie. Mo偶na to zinterpretowa膰. $x^2+y^2=const$ to okr膮g, prawda? Podobnie Tw贸j zapis klasy abstrakcji m贸wi o wszystkich okr臋gach o promieniu $|x|$, bardzo 艂adnie. Przy tym $|x|=|-x|$, dlatego nie potrzeba przebiega膰 ca艂ego zbioru $R$, a wystarczy $[0,\infty)$. Czyli jedna klasa abstrakcji $[(0,0)]$ to okr膮g zdegenerowany, punkt, a pozosta艂e, dla dodatnich $x$, to okr臋gi o promieniach $x$. Ta interpretacja potwierdza, 偶e zrobili艣my dobrze, bowiem p艂aszczyzna jest dobrze podzielona. Ka偶dy punkt le偶y na jakim艣 okr臋gu, ka偶dy tylko na jednym. |
onlyhope69 post贸w: 20 | 2014-01-03 18:52:48 O no to fajnie :). Dzi臋kuje 艣licznie :)  |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj