Topologia, zadanie nr 1903
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| misia12345 postów: 16 |  2014-01-14 10:53:121. Wykazać, że odwzorowanie $f(x)=x+\frac{1}{x}$ dla $x \ge 1$ i $x \in R$ a) zmniejsza odległość; tzn $|f(x)-f(y)|<|x-y|$ dla $x,y \in [1,+\infty)$ ale nie ma punktu stałego w p. metr. $([1,+\infty), d_e)$ b) Wykazać, że p. metr $([1,+\infty), d_e)$ jest zupełna. a) $|x-y|=|x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x}-y+\frac{1}{y}-\frac{1}{y}|=|x+\frac{1}{x}|-|y+\frac{1}{y}|+|-\frac{1}{x}-\frac{1}{y}|=|x+\frac{1}{x}|-|y+\frac{1}{y}|+|-(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})|=|x+\frac{1}{x}|-|y+\frac{1}{y}|+|\frac{1}{x}+\frac{1}{y}|$ czyli mamy: $|x+\frac{1}{x}|-|y+\frac{1}{y}|<|x+\frac{1}{x}|-|y+\frac{1}{y}|+|\frac{1}{x}+\frac{1}{y}|$ zgadza się? 2. a) Wykazać, że: jeśli ciągi $(x_n),(y_n)$ są ciągami Cauchy'ego w p. metr. $(R,d_e)$, to ciąg $(x_n+y_n)$ także jest ciągiem Cauchy'ego w tej p. metr. A więc: $|\frac{1}{x_n}-\frac{1}{x_m}|<\frac{E}{2}$ $|\frac{1}{x_n}-\frac{1}{x_0}|+|\frac{1}{x_0}-\frac{1}{x_m}| \le |\frac{1}{x_n}-\frac{1}{x_0}|+|\frac{1}{x_m}-\frac{1}{x_0}|<\frac{E}{2}+\frac{E}{2}<E$ analogicznie dla $|\frac{1}{y_n}-\frac{1}{y_m}|<\frac{E}{2}$ ... ... ostatecznie $|\frac{1}{x_n}-\frac{1}{x_m}|+|\frac{1}{xy_n}-\frac{1}{y_m}|<2E$ czy to tak należy zrobić? b) $x_n=(-1)^n*sin\frac{1}{n}$ i $y_n=(-1)^n*cos\frac{1}{n}$ dla $n \in N$ czy te ciągi są ciagami cauchy'ego? dla x_n granica wyszła 0 czyli ciąg jest zbieżny do 0 więc jest ciągiem cauchy'ego natomiast y_n nie jest ciągiem cauchy'ego, ponieważ dla liczb parzystych ciąg jest zbieżny do pi/2 a dla nieparzystych -pi/2. zgadza się? c) wykazać, że jeśli funkcja $f: X \rightarrow Y$ jest jednostajnie ciągła i $x_n$ jest ciągiem Cauchy'ego, $x_n \in N$ dla $n \in N$, to $(f(x_n)):f(x_n) \in y$ jest ciągiem Cauchy'ego. nie wiem w ogóle co oznacza ten zapis $(f(x_n)):f(x_n) \in y$ 3. Uzasadnić, że: a) $(R,d_e)$ jest przestrzenią ośrodkową nie potrafię znaleźć takiego podzbioru żeby był gęsty ;/ b) $(R,d)$ d- metryka dyskretna, nie jest przestrzenią ośrodkową $d(x,y)=1$ gdy $x \neq y \vee 0$, gdy $x=y$ $A=R_+$ $\bigwedge\limits_{x \in R} \wedge \bigwedge\limits_{E>0} \bigvee\limits_{q \in R_+}$ $d(x,q)<E$ nie jest przestrzenią ośrodkową np. $E= {\frac{1}{2}$ ; $x \neq q$ $\Rightarrow 1<\frac{1}{2}$ fałsz 4. a) Udowodnić, że jeśli $(X,R)$ jest p. metr. ośrodkową i $Y \neq zbioru pustego \wedge Y \subset X$ to $(Y,d)$ jest p. metr. ośrodkową. b) iloczyn kartezjański $XxY$ przestrzeni metr. ośrodkowych jest przestrzenią metryczną ośrodkową. Wiem tyle, że skoro $A \subset X$ $\wedge$ $B \subset Y$, to moc iloczynu kartezjanskiego zbiorów A i B jest równy mocy zbioru A iloczyn kartezjanski moc B. tylko nie wiem jak to udowodnić ;/ 5. a) Niech $(X,d)$ będzie p. metr. i $X$ jest zb. przeliczalnym. Czy wtedy $(X,d)$ jest przestrzenią metr. ośrodkową? wydaje mi się, że nie bo nie mogłam znaleźć takiego podzbioru, żeby był gęsty ale nie wiem jak to dokładnie udowodnić. Czy może należy to udowodnić na podstawie równoliczności, jeśli tak to jak? b)Czy $(N,d)$ jest p. metr. ośrodkową, gdy $d(n,m)=|\frac{1}{n}-\frac{1}{m}|$ dla $n,m \in N$? Moim zdaniem nie, np. weźmy podzbiór liczb naturalnych parzystych wtedy ten podzbiór nie będzie gęsty np. nieprawdą jest,że $|\frac{1}{x}-\frac{1}{y}|<E$ , gdzie $x=1$ $y=2$ $E=\frac{1}{2}$ 6. Zbadać, czy rodzina ${(-n,n)}_n_ \in N$ jest otwartym pokryciem zb. $R$? Z góry bardzo dziękuję za pomoc :) |
| tumor postów: 8070 | 2014-08-12 13:28:58 1. a) nie zgadza się, użyte równanie jest do kitu (w sensie: prawdziwe jak program partii politycznej) Mamy dla $y>x$ $|x-y|=y-x$ $|x+\frac{1}{x}-y-\frac{1}{y}|=y-x+\frac{1}{y}-\frac{1}{x}$ bo jeśli $y=x+r\ge 1+r$ to $r>\frac{r}{x(x+r)}$ $r>\frac{1}{x}-\frac{1}{x+r}$ $r+\frac{1}{x+r}>\frac{1}{x}$ $x+r+\frac{1}{x+r}>x+\frac{1}{x}$ $y+\frac{1}{y}>x+\frac{1}{x}$ Ponadto $y-x>y-x+\frac{1}{y}-\frac{1}{x}$, bo $\frac{1}{y}<\frac{1}{x}$ Brak punktów stałych pokazuje się łatwo, otóż oczywiście $x<f(x)=x+\frac{1}{x}$, bo $\frac{1}{x}>0$ b) jeśli $x_n$ jest ciągiem Cauchy'ego w $[1,\infty)$, to jest ciągiem Cauchy'ego w $R$, ma zatem granicę w $R$, ponadto z tw. o zachowaniu nierówności w granicy mamy, że skoro $x_i\ge 1$, to granica ciągu też jest nie mniejsza niż $1$, zatem należy do $[1,\infty)$ Oczywiście musimy mieć dowiedziony fakt, że $R$ jest zupełna. :) |
| tumor postów: 8070 | 2014-08-12 13:29:17 2. a) Jako ciągi Cauchy'ego ciągi $x_n$ i $y_n$ spełniają dla każdego $\epsilon$ warunek, że dla $n,m$ większych od pewnego $n_0$ jest $|x_n-x_m|<\frac{\epsilon}{2}$ $|y_n-y_m|<\frac{\epsilon}{2}$ zatem dla $n,m$ większych od $n_0$ zachodzi także $|x_n+y_n-x_m-y_m|\le |x_n-x_m|+|y_n-y_m|<\epsilon$ b) rozumowanie poprawne. Ciągi zbieżne są Cauchy'ego, a ciągi, które mają dwie granice częściowe, nie mogą być ciągami Cauchy'ego. Tylko $cos0 =1$, a nie $\frac{\pi}{2}$ c) zapis jest niezbyt szczęśliwy może. W każdym razie chodzi o ciąg wartości funkcji odpowiadający ciągowi argumentów. ustalmy $\epsilon>0$ z warunku jednostajnej ciągłości wynika, że istnieje $\delta>0$, że jeśli $d(x_n,x_m)<\delta$, to $d(f(x_n),f(x_m))<\epsilon$, natomiast z warunku Cauchy'ego dla ciągu $x_i$ wynika, że dla $m,n$ większych od pewnego $n_0$ zachodzi $d(x_n,x_m)<\delta$ |
| tumor postów: 8070 | 2014-08-12 13:37:35 3. a) szatan mi podpowiada, że gęsty w $R$ jest $Q$. b) niezupełnie rozumiem Twoją odpowiedź, a szatan przestał pomagać. $(R,d)$ nie ma podzbiorów gęstych poza $R$, a $R$ nie jest przeliczalny. Gdyby $R\backslash A\neq \emptyset$, to $R\backslash A$ byłby otwarty, niepusty i rozłączny z $A$, czyli $A$ nie byłby gęsty. |
| tumor postów: 8070 | 2014-08-12 13:48:11 5. a) Olaboga. Przecież X jest przeliczalny i jest swoim podzbiorem gęstym. :) W tym zadaniu nic nie wiemy o X, więc jak w ogóle mielibyśmy szukać jego podzbiorów i sprawdzać, czy są gęste? Sam szatan_zły_z_piekła nie miałby szans podołać takiemu zadaniu. b) z podpunktu a) wynika, że jest przestrzenią ośrodkową. Poza tym nie ma znaczenia, czy JAKIŚ zbiór przeliczalny nie jest gęsty. Przestrzeń jest ośrodkowa gdy CO NAJMNIEJ JEDEN podzbiór przeliczalny jest gęsty. A tu cały zbiór N jest takim podzbiorem. Skądinąd jest to przestrzeń dyskretna, zbiory jednopunktowe są otwarte, tworzą bazę, jest ich przeliczalnie wiele. Przestrzeń metryczna (w sumie topologiczna) z bazą przeliczalną jest ośrodkowa (choć to by trzeba udowodnić). |
| tumor postów: 8070 | 2014-08-12 13:50:20 6. Zbiory $(-n,n)$ są oczywiście otwarte i każdy $x\in R$ należy do $(-n_x,n_x)$ dla pewnego $n_x\in N$. Zatem jest to pokrycie otwarte. Przykład ten jest dobry do pokazania, że $R$ nie jest zwarta - dowolny skończony podzbiór tego pokrycia nie jest już pokryciem. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj