Topologia, zadanie nr 1903
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
misia12345 post贸w: 16 |  2014-01-14 10:53:121. Wykaza膰, 偶e odwzorowanie $f(x)=x+\frac{1}{x}$ dla $x \ge 1$ i $x \in R$ a) zmniejsza odleg艂o艣膰; tzn $|f(x)-f(y)|<|x-y|$ dla $x,y \in [1,+\infty)$ ale nie ma punktu sta艂ego w p. metr. $([1,+\infty), d_e)$ b) Wykaza膰, 偶e p. metr $([1,+\infty), d_e)$ jest zupe艂na. a) $|x-y|=|x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x}-y+\frac{1}{y}-\frac{1}{y}|=|x+\frac{1}{x}|-|y+\frac{1}{y}|+|-\frac{1}{x}-\frac{1}{y}|=|x+\frac{1}{x}|-|y+\frac{1}{y}|+|-(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})|=|x+\frac{1}{x}|-|y+\frac{1}{y}|+|\frac{1}{x}+\frac{1}{y}|$ czyli mamy: $|x+\frac{1}{x}|-|y+\frac{1}{y}|<|x+\frac{1}{x}|-|y+\frac{1}{y}|+|\frac{1}{x}+\frac{1}{y}|$ zgadza si臋? 2. a) Wykaza膰, 偶e: je艣li ci膮gi $(x_n),(y_n)$ s膮 ci膮gami Cauchy\'ego w p. metr. $(R,d_e)$, to ci膮g $(x_n+y_n)$ tak偶e jest ci膮giem Cauchy\'ego w tej p. metr. A wi臋c: $|\frac{1}{x_n}-\frac{1}{x_m}|<\frac{E}{2}$ $|\frac{1}{x_n}-\frac{1}{x_0}|+|\frac{1}{x_0}-\frac{1}{x_m}| \le |\frac{1}{x_n}-\frac{1}{x_0}|+|\frac{1}{x_m}-\frac{1}{x_0}|<\frac{E}{2}+\frac{E}{2}<E$ analogicznie dla $|\frac{1}{y_n}-\frac{1}{y_m}|<\frac{E}{2}$ ... ... ostatecznie $|\frac{1}{x_n}-\frac{1}{x_m}|+|\frac{1}{xy_n}-\frac{1}{y_m}|<2E$ czy to tak nale偶y zrobi膰? b) $x_n=(-1)^n*sin\frac{1}{n}$ i $y_n=(-1)^n*cos\frac{1}{n}$ dla $n \in N$ czy te ci膮gi s膮 ciagami cauchy\'ego? dla x_n granica wysz艂a 0 czyli ci膮g jest zbie偶ny do 0 wi臋c jest ci膮giem cauchy\'ego natomiast y_n nie jest ci膮giem cauchy\'ego, poniewa偶 dla liczb parzystych ci膮g jest zbie偶ny do pi/2 a dla nieparzystych -pi/2. zgadza si臋? c) wykaza膰, 偶e je艣li funkcja $f: X \rightarrow Y$ jest jednostajnie ci膮g艂a i $x_n$ jest ci膮giem Cauchy\'ego, $x_n \in N$ dla $n \in N$, to $(f(x_n)):f(x_n) \in y$ jest ci膮giem Cauchy\'ego. nie wiem w og贸le co oznacza ten zapis $(f(x_n)):f(x_n) \in y$ 3. Uzasadni膰, 偶e: a) $(R,d_e)$ jest przestrzeni膮 o艣rodkow膮 nie potrafi臋 znale藕膰 takiego podzbioru 偶eby by艂 g臋sty ;/ b) $(R,d)$ d- metryka dyskretna, nie jest przestrzeni膮 o艣rodkow膮 $d(x,y)=1$ gdy $x \neq y \vee 0$, gdy $x=y$ $A=R_+$ $\bigwedge\limits_{x \in R} \wedge \bigwedge\limits_{E>0} \bigvee\limits_{q \in R_+}$ $d(x,q)<E$ nie jest przestrzeni膮 o艣rodkow膮 np. $E= {\frac{1}{2}$ ; $x \neq q$ $\Rightarrow 1<\frac{1}{2}$ fa艂sz 4. a) Udowodni膰, 偶e je艣li $(X,R)$ jest p. metr. o艣rodkow膮 i $Y \neq zbioru pustego \wedge Y \subset X$ to $(Y,d)$ jest p. metr. o艣rodkow膮. b) iloczyn kartezja艅ski $XxY$ przestrzeni metr. o艣rodkowych jest przestrzeni膮 metryczn膮 o艣rodkow膮. Wiem tyle, 偶e skoro $A \subset X$ $\wedge$ $B \subset Y$, to moc iloczynu kartezjanskiego zbior贸w A i B jest r贸wny mocy zbioru A iloczyn kartezjanski moc B. tylko nie wiem jak to udowodni膰 ;/ 5. a) Niech $(X,d)$ b臋dzie p. metr. i $X$ jest zb. przeliczalnym. Czy wtedy $(X,d)$ jest przestrzeni膮 metr. o艣rodkow膮? wydaje mi si臋, 偶e nie bo nie mog艂am znale藕膰 takiego podzbioru, 偶eby by艂 g臋sty ale nie wiem jak to dok艂adnie udowodni膰. Czy mo偶e nale偶y to udowodni膰 na podstawie r贸wnoliczno艣ci, je艣li tak to jak? b)Czy $(N,d)$ jest p. metr. o艣rodkow膮, gdy $d(n,m)=|\frac{1}{n}-\frac{1}{m}|$ dla $n,m \in N$? Moim zdaniem nie, np. we藕my podzbi贸r liczb naturalnych parzystych wtedy ten podzbi贸r nie b臋dzie g臋sty np. nieprawd膮 jest,偶e $|\frac{1}{x}-\frac{1}{y}|<E$ , gdzie $x=1$ $y=2$ $E=\frac{1}{2}$ 6. Zbada膰, czy rodzina ${(-n,n)}_n_ \in N$ jest otwartym pokryciem zb. $R$? Z g贸ry bardzo dzi臋kuj臋 za pomoc :) |
tumor post贸w: 8070 | 2014-08-12 13:28:58 1. a) nie zgadza si臋, u偶yte r贸wnanie jest do kitu (w sensie: prawdziwe jak program partii politycznej) Mamy dla $y>x$ $|x-y|=y-x$ $|x+\frac{1}{x}-y-\frac{1}{y}|=y-x+\frac{1}{y}-\frac{1}{x}$ bo je艣li $y=x+r\ge 1+r$ to $r>\frac{r}{x(x+r)}$ $r>\frac{1}{x}-\frac{1}{x+r}$ $r+\frac{1}{x+r}>\frac{1}{x}$ $x+r+\frac{1}{x+r}>x+\frac{1}{x}$ $y+\frac{1}{y}>x+\frac{1}{x}$ Ponadto $y-x>y-x+\frac{1}{y}-\frac{1}{x}$, bo $\frac{1}{y}<\frac{1}{x}$ Brak punkt贸w sta艂ych pokazuje si臋 艂atwo, ot贸偶 oczywi艣cie $x<f(x)=x+\frac{1}{x}$, bo $\frac{1}{x}>0$ b) je艣li $x_n$ jest ci膮giem Cauchy\'ego w $[1,\infty)$, to jest ci膮giem Cauchy\'ego w $R$, ma zatem granic臋 w $R$, ponadto z tw. o zachowaniu nier贸wno艣ci w granicy mamy, 偶e skoro $x_i\ge 1$, to granica ci膮gu te偶 jest nie mniejsza ni偶 $1$, zatem nale偶y do $[1,\infty)$ Oczywi艣cie musimy mie膰 dowiedziony fakt, 偶e $R$ jest zupe艂na. :) |
tumor post贸w: 8070 | 2014-08-12 13:29:17 2. a) Jako ci膮gi Cauchy\'ego ci膮gi $x_n$ i $y_n$ spe艂niaj膮 dla ka偶dego $\epsilon$ warunek, 偶e dla $n,m$ wi臋kszych od pewnego $n_0$ jest $|x_n-x_m|<\frac{\epsilon}{2}$ $|y_n-y_m|<\frac{\epsilon}{2}$ zatem dla $n,m$ wi臋kszych od $n_0$ zachodzi tak偶e $|x_n+y_n-x_m-y_m|\le |x_n-x_m|+|y_n-y_m|<\epsilon$ b) rozumowanie poprawne. Ci膮gi zbie偶ne s膮 Cauchy\'ego, a ci膮gi, kt贸re maj膮 dwie granice cz臋艣ciowe, nie mog膮 by膰 ci膮gami Cauchy\'ego. Tylko $cos0 =1$, a nie $\frac{\pi}{2}$ c) zapis jest niezbyt szcz臋艣liwy mo偶e. W ka偶dym razie chodzi o ci膮g warto艣ci funkcji odpowiadaj膮cy ci膮gowi argument贸w. ustalmy $\epsilon>0$ z warunku jednostajnej ci膮g艂o艣ci wynika, 偶e istnieje $\delta>0$, 偶e je艣li $d(x_n,x_m)<\delta$, to $d(f(x_n),f(x_m))<\epsilon$, natomiast z warunku Cauchy\'ego dla ci膮gu $x_i$ wynika, 偶e dla $m,n$ wi臋kszych od pewnego $n_0$ zachodzi $d(x_n,x_m)<\delta$ |
tumor post贸w: 8070 | 2014-08-12 13:37:35 3. a) szatan mi podpowiada, 偶e g臋sty w $R$ jest $Q$. b) niezupe艂nie rozumiem Twoj膮 odpowied藕, a szatan przesta艂 pomaga膰. $(R,d)$ nie ma podzbior贸w g臋stych poza $R$, a $R$ nie jest przeliczalny. Gdyby $R\backslash A\neq \emptyset$, to $R\backslash A$ by艂by otwarty, niepusty i roz艂膮czny z $A$, czyli $A$ nie by艂by g臋sty. |
tumor post贸w: 8070 | 2014-08-12 13:48:11 5. a) Olaboga. Przecie偶 X jest przeliczalny i jest swoim podzbiorem g臋stym. :) W tym zadaniu nic nie wiemy o X, wi臋c jak w og贸le mieliby艣my szuka膰 jego podzbior贸w i sprawdza膰, czy s膮 g臋ste? Sam szatan_z艂y_z_piek艂a nie mia艂by szans podo艂a膰 takiemu zadaniu. b) z podpunktu a) wynika, 偶e jest przestrzeni膮 o艣rodkow膮. Poza tym nie ma znaczenia, czy JAKI艢 zbi贸r przeliczalny nie jest g臋sty. Przestrze艅 jest o艣rodkowa gdy CO NAJMNIEJ JEDEN podzbi贸r przeliczalny jest g臋sty. A tu ca艂y zbi贸r N jest takim podzbiorem. Sk膮din膮d jest to przestrze艅 dyskretna, zbiory jednopunktowe s膮 otwarte, tworz膮 baz臋, jest ich przeliczalnie wiele. Przestrze艅 metryczna (w sumie topologiczna) z baz膮 przeliczaln膮 jest o艣rodkowa (cho膰 to by trzeba udowodni膰). |
tumor post贸w: 8070 | 2014-08-12 13:50:20 6. Zbiory $(-n,n)$ s膮 oczywi艣cie otwarte i ka偶dy $x\in R$ nale偶y do $(-n_x,n_x)$ dla pewnego $n_x\in N$. Zatem jest to pokrycie otwarte. Przyk艂ad ten jest dobry do pokazania, 偶e $R$ nie jest zwarta - dowolny sko艅czony podzbi贸r tego pokrycia nie jest ju偶 pokryciem. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj