logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 195

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

mat12
postów: 221
2011-11-12 09:01:51

Wykazać,że istnieje granica

$\lim_{(x,y) \to (0,0)}$ sin$\frac{1}{x}$sin$\frac{1}{y}$ ,
ale nie istnieją granice iterowane
$\lim_{x \to 0}(\lim_{y \to 0}sin\frac{1}{x}sin\frac{1}{y})$ , $\lim_{y \to 0}(\lim_{x \to 0}sin\frac{1}{x}sin\frac{1}{y})$.


tumor
postów: 8070
2012-09-21 11:43:05

Przy ustalonym $x\neq \frac{1}{k\pi}$ mamy $0\neq\sin\frac{1}{x}=const$, a granica $\lim_{y \to 0}\sin\frac{1}{y}$ nie istnieje (możemy podać ciągi $a_n, b_n$ zbieżne do $0$, dla których $\lim_{n \to \infty}\sin\frac{1}{a_n}\neq\lim_{n \to \infty}\sin\frac{1}{b_n}$).
Dlatego nie istnieją granice iterowane.

Ale na nieszczęście dla tego przykładu nie istnieje też granica, której istnienie należy wykazać.
Jeśli weźmiemy $x_n=y_n=\frac{1}{n\pi}$
to
$\lim_{n \to \infty}\sin\frac{1}{x_n}\sin\frac{1}{y_n}=\lim_{n \to \infty}\sin^2n\pi = 0$
natomiast dla
$x_n=y_n=\frac{1}{n\pi+0,5\pi}$
mamy
$\lim_{n \to \infty}\sin\frac{1}{x_n}\sin\frac{1}{y_n}=\lim_{n \to \infty}\sin^2(n\pi+0,5\pi)=1$



-----

Natomiast rzeczywiście istnieją funkcje dwóch zmiennych, które mają granicę, ale nie mają granic iterowanych.
Przykładem zbliżonym do tego z zadania jest
$\lim_{(x,y) \to (0,0)}(x+y)\sin\frac{1}{x}\sin\frac{1}{y}=0$
Granica ta istnieje jako granica iloczynu funkcji ograniczonej i zbieżnej do $0$.
Natomiast nie istnieją granice iterowane, co argumentujemy analogicznie jak w zadaniu, które rozwiązałem.


strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 48 drukuj