Analiza matematyczna, zadanie nr 195

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
mat12 postów: 221	2011-11-12 09:01:51 Wykazać,że istnieje granica $\lim_{(x,y) \to (0,0)}$ sin$\frac{1}{x}$sin$\frac{1}{y}$ , ale nie istnieją granice iterowane $\lim_{x \to 0}(\lim_{y \to 0}sin\frac{1}{x}sin\frac{1}{y})$ , $\lim_{y \to 0}(\lim_{x \to 0}sin\frac{1}{x}sin\frac{1}{y})$.

tumor postów: 8070	2012-09-21 11:43:05 Przy ustalonym $x\neq \frac{1}{k\pi}$ mamy $0\neq\sin\frac{1}{x}=const$, a granica $\lim_{y \to 0}\sin\frac{1}{y}$ nie istnieje (możemy podać ciągi $a_n, b_n$ zbieżne do $0$, dla których $\lim_{n \to \infty}\sin\frac{1}{a_n}\neq\lim_{n \to \infty}\sin\frac{1}{b_n}$). Dlatego nie istnieją granice iterowane. Ale na nieszczęście dla tego przykładu nie istnieje też granica, której istnienie należy wykazać. Jeśli weźmiemy $x_n=y_n=\frac{1}{n\pi}$ to $\lim_{n \to \infty}\sin\frac{1}{x_n}\sin\frac{1}{y_n}=\lim_{n \to \infty}\sin^2n\pi = 0$ natomiast dla $x_n=y_n=\frac{1}{n\pi+0,5\pi}$ mamy $\lim_{n \to \infty}\sin\frac{1}{x_n}\sin\frac{1}{y_n}=\lim_{n \to \infty}\sin^2(n\pi+0,5\pi)=1$ ----- Natomiast rzeczywiście istnieją funkcje dwóch zmiennych, które mają granicę, ale nie mają granic iterowanych. Przykładem zbliżonym do tego z zadania jest $\lim_{(x,y) \to (0,0)}(x+y)\sin\frac{1}{x}\sin\frac{1}{y}=0$ Granica ta istnieje jako granica iloczynu funkcji ograniczonej i zbieżnej do $0$. Natomiast nie istnieją granice iterowane, co argumentujemy analogicznie jak w zadaniu, które rozwiązałem.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj