Analiza matematyczna, zadanie nr 195
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
mat12 post贸w: 221 |  2011-11-12 09:01:51Wykaza膰,偶e istnieje granica $\lim_{(x,y) \to (0,0)}$ sin$\frac{1}{x}$sin$\frac{1}{y}$ , ale nie istniej膮 granice iterowane $\lim_{x \to 0}(\lim_{y \to 0}sin\frac{1}{x}sin\frac{1}{y})$ , $\lim_{y \to 0}(\lim_{x \to 0}sin\frac{1}{x}sin\frac{1}{y})$. |
tumor post贸w: 8070 | 2012-09-21 11:43:05 Przy ustalonym $x\neq \frac{1}{k\pi}$ mamy $0\neq\sin\frac{1}{x}=const$, a granica $\lim_{y \to 0}\sin\frac{1}{y}$ nie istnieje (mo偶emy poda膰 ci膮gi $a_n, b_n$ zbie偶ne do $0$, dla kt贸rych $\lim_{n \to \infty}\sin\frac{1}{a_n}\neq\lim_{n \to \infty}\sin\frac{1}{b_n}$). Dlatego nie istniej膮 granice iterowane. Ale na nieszcz臋艣cie dla tego przyk艂adu nie istnieje te偶 granica, kt贸rej istnienie nale偶y wykaza膰. Je艣li we藕miemy $x_n=y_n=\frac{1}{n\pi}$ to $\lim_{n \to \infty}\sin\frac{1}{x_n}\sin\frac{1}{y_n}=\lim_{n \to \infty}\sin^2n\pi = 0$ natomiast dla $x_n=y_n=\frac{1}{n\pi+0,5\pi}$ mamy $\lim_{n \to \infty}\sin\frac{1}{x_n}\sin\frac{1}{y_n}=\lim_{n \to \infty}\sin^2(n\pi+0,5\pi)=1$ ----- Natomiast rzeczywi艣cie istniej膮 funkcje dw贸ch zmiennych, kt贸re maj膮 granic臋, ale nie maj膮 granic iterowanych. Przyk艂adem zbli偶onym do tego z zadania jest $\lim_{(x,y) \to (0,0)}(x+y)\sin\frac{1}{x}\sin\frac{1}{y}=0$ Granica ta istnieje jako granica iloczynu funkcji ograniczonej i zbie偶nej do $0$. Natomiast nie istniej膮 granice iterowane, co argumentujemy analogicznie jak w zadaniu, kt贸re rozwi膮za艂em. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj