Inne, zadanie nr 1985
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
xtopeczkax post贸w: 69 |  2014-01-28 21:17:13Niech $K$ oznacza zbi贸r wszystkich sum sko艅czonych lewostronnie otwartych przedzia艂贸w $I\subset R$(ograniczonych lub nieograniczonych). Uzasadnij, 偶e: $a) K$ jest cia艂em, ale nie jest $\sigma$-cia艂em w $R$; $b) \sigma(K)=B(R) (\sigma$-cia艂o zbior贸w borelowskich w$R)$. |
tumor post贸w: 8070 | 2014-02-22 08:03:44 a) wystarczy zauwa偶y膰, 偶e suma dw贸ch zbior贸w z $K$ nale偶y do $K $ oraz dope艂nienie zbioru z $K$ nale偶y do $K$. Natomiast $\sigma$-cia艂em nie jest, bo w toku przeliczalnie (niesko艅czenie) wielu sumowa艅 lewostronnie otwartych przedzia艂贸w (nale偶膮cych do K) otrzymamy zbi贸r $A=\bigcup_{n\in N} (n,n+\frac{1}{2}]$, kt贸ry nie nale偶y do $K$. |
tumor post贸w: 8070 | 2014-02-22 08:22:10 b) inkluzja $\sigma (K)\subset B(R)$ jest oczywista na mocy definicji $\sigma$-cia艂a generowanego przez rodzin臋 (jako przekroju wszystkich $\sigma$-cia艂 zawieraj膮cych t臋 rodzin臋). Inkluzji w drug膮 stron臋 dowodzimy pokazuj膮c, 偶e zbiory otwarte da si臋 otrzyma膰 w ramach przeliczalnych dzia艂a艅 ze zbior贸w nale偶膮cych do $K$. Jako 偶e $R$ z naturaln膮 topologi膮 ma baz臋 przeliczaln膮, wystarczy pokaza膰, 偶e otrzymamy przedzia艂y otwarte o ko艅cach wymiernych, kt贸re t臋 baz臋 tworz膮. Niech $a,b$ b臋d膮 wymierne, $a<b$, w贸wczas $(a,b)=\bigcup_{n\in N}(a,b-\frac{b-a}{n+1}]$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj