Inne, zadanie nr 1986
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
trolololo post贸w: 6 |  2014-01-28 21:32:26Hej,czy kto艣 m贸g艂by pom贸c z tym zadaniem:Wyznacz ekstrema lokalne funkcji: a ) f(x,y)3x^2+6y^2+3x-36y b) f(x,y)=-8x^3+y^3-24xy-4 c)f(x,y)=3x^2+y^2-x^3y d)f(x,y)=-2x^2-4xy^2+24xy |
tumor post贸w: 8070 | 2014-02-22 09:11:37 a) liczymy pochodne cz膮stkowe $\frac{df}{dx}=6x+3$ $\frac{df}{dy}=12y-36$ $\frac{d^2f}{dx^2}=6$ $\frac{d^2f}{dy^2}=12$ $\frac{d^2f}{dxdy}=0$ Pierwsze pochodne zeruj膮 si臋 tylko dla pary $(-2,3)$ Macierz drugich pochodnych ma w贸wczas wyznacznik $\left|\begin{matrix} 6&0 \\ 0&12 \end{matrix}\right|>0$ Co oznacza ekstremum, a skoro $\frac{d^2f}{dx^2}(-2,3)>0$ to mamy tam minimum. |
tumor post贸w: 8070 | 2014-02-22 09:13:56 b) liczymy pochodne cz膮stkowe $\frac{df}{dx}=-24x^2-24y$ $\frac{df}{dy}=3y^2-24x$ rozwi膮zujemy uk艂ad r贸wna艅 $\left\{\begin{matrix} x^2+y=0 \\ y^2-8x=0 \end{matrix}\right.$ co jest nieco uproszczon膮 wersj膮 przyr贸wnania obu pochodnych do zera. Otrzymujemy $x^4-8x=0$ co daje rozwi膮zania $(0,0)$ i $(2,-4)$ $\frac{d^2f}{dx^2}=-48x$ $\frac{d^2f}{dy^2}=6y$ $\frac{d^2f}{dxdy}=-24$ $\left|\begin{matrix} -48*0&-24 \\ -24&6*0 \end{matrix}\right|<0$ czyli nie ma ekstremum w $(0,0)$ $\left|\begin{matrix} -48*(2)&-24 \\ -24&6*(-4) \end{matrix}\right|>0$ czyli mamy tam ekstremum (a nawet maksimum z uwagi na znak $\frac{d^2f}{dx^2}(2,-4)$) |
tumor post贸w: 8070 | 2014-02-22 09:19:22 c) liczymy pochodne cz膮stkowe $\frac{df}{dx}=6x-3x^2y$ $\frac{df}{dy}=2y-x^3$ uk艂ad r贸wna艅 $\left\{\begin{matrix} 2x=x^2y \\ 2y=x^3 \end{matrix}\right.$ st膮d: $4x=x^5$ co daje rozwi膮zania $(0,0)$, $(\sqrt{2},\sqrt{2})$, $(-\sqrt{2},-\sqrt{2})$, $\frac{d^2f}{dx^2}=6-6xy$ $\frac{d^2f}{dy^2}=2$ $\frac{d^2f}{dxdy}=-3x^2$ liczymy wyznacznik $\left|\begin{matrix} 6-6xy&2 \\ 2&-3x^2 \end{matrix}\right|$ dla ka偶dego z rozwi膮za艅. Je艣li wychodzi dodatni, to ekstremum jest. Je艣li ujemny, to nie ma. Gdyby si臋 zerowa艂, to nie wiadomo, ale tu si臋 nie zeruje. |
tumor post贸w: 8070 | 2014-02-22 09:23:25 d) liczymy pochodne cz膮stkowe $\frac{df}{dx}=-4x-4y^2+24y$ $\frac{df}{dy}=-8xy+24x$ $\left\{\begin{matrix} -4x-4y^2+24y=0 \\ -8xy+24x=0 \end{matrix}\right.$ $\left\{\begin{matrix} -y^2+6y=x \\ x(3-y)=0 \end{matrix}\right.$ $y(6-y)(3-y)=0$ $(0,0), (9,3), (0,6)$ $\frac{d^2f}{dx^2}=-4$ $\frac{d^2f}{dy^2}=-8x$ $\frac{d^2f}{dxdy}=-8y+24$ $\left|\begin{matrix} -4&-8y+24 \\ -8y+24&-8x \end{matrix}\right|$ zale偶nie od znaku wyznacznika ekstremum jest lub nie. Je艣li jest, to zale偶nie od znaku $\frac{d^2f}{dx^2}(x_0,y_0)$ jest to minimum lub maksimum. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj