logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Probabilistyka, zadanie nr 199

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

mat12
postów: 221
2011-11-16 19:45:51

Jakie jest prawdopodobieństwo,że dwa rzuty po trzy kości w każdym okażą tą samą konfigurację,jeżeli
a)kości dają się odróżnić jedna od drugiej;
b)kości nie dają się rozróżnić?

proszę o pomoc z możliwie dużym wyjaśnieniem toku rozumowania.
za pomoc z góry ogromnie dziękuję


tumor
postów: 8070
2012-09-20 20:16:17

a)
Jeśli odróżniamy kości, to możemy patrzeć jak na trzy niezależne zdarzenia. Pierwszy rzut kością jest dowolny. Prawdopodobieństwo, że tą samą kością wyrzuci się to samo wynosi $\frac{1}{6}$, a iloczyn trzech niezależnych zdarzeń tej postaci to prawdopodobieństwo $\frac{1}{216}$

Inaczej możemy na wyniki patrzeć jak na ciągi trzywyrazowe o elementach z $\{0,1,2,3,4,5\}$, jest ich $216$, każdy równie prawdopodobny...

b)
A tu jest nieco więcej zamieszania. Kombinacje bez powtórzeń nie są tak samo prawdopodobne (na przykład w podwójnym rzucie monetą łatwiej wyrzucić jednego orła i jedną reszkę niż dwa orły, gdy nie rozróżniamy monet).

Ale od czego jest flamaster? Jak nikt nie patrzy podpisujemy sobie kości, wykonujemy eksperyment, a na końcu utożsamimy wyniki, np wynik $123$ (z istotną kolejnością) utożsamimy z $231$ czy $321$.
Z prawdopodobieństwem $\frac{6}{216}$ otrzymaliśmy w pierwszym rzucie wynik $xxx$, każdemu takiemu wynikowi odpowiada tylko $xxx$ w drugim rzucie, a to otrzymamy z prawdopodobieństwem $\frac{1}{216}$.
Wyników postaci $xxy$, $xyx$, $yxx$ (gdzie $x\neq y$) otrzymujemy $3*6*5$, prawdopodobieństwo takiego rzutu to $\frac{90}{216}$. W drugim rzucie interesuje nas dowolna z $3$ permutacji (bo je utożsamiamy), czyli $\frac{3}{216}$.
Wyników $xyz$ (elementy parami różne) jest $6*5*4$, występują jak $\frac{120}{216}$, a w drugim rzucie interesuje nas dowolna z jego $6$ permutacji, czyli mamy szanse $\frac{6}{216}$.

Ostatecznie nasze zwycięstwo ma szanse:
$\frac{6}{216}*\frac{1}{216}+\frac{90}{216}*\frac{3}{216}+\frac{120}{216}*\frac{6}{216}=\frac{6(1+45+120)}{6^6}=\frac{166}{6^5}$


strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 52 drukuj