Inne, zadanie nr 2007
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
xtopeczkax post贸w: 69 |  2014-01-29 09:12:13Niech $mi^*(A)=\left\{\begin{matrix} 0, \ \ gdy \ A \ jest \ zbiorem \ przeliczalnym \\ 1, \ \ gdy \ A \ jest \ zbiorem \ nieprzeliczalnym \end{matrix}\right.$. Wykaza膰, 偶e $mi^*$ jest miar膮 zewn臋trzn膮 i wyznaczy膰 rodzin臋 wszystkich zbior贸w mierzalnych w sensie Caratheodory\'ego |
tumor post贸w: 8070 | 2014-06-05 19:32:56 $ mi^*(\emptyset)=0$ $A\subset B \Rightarrow mi^*(A)\le mi^*(B)$ Dla ci膮gu zbior贸w $A_n, n\in N$ mamy $mi^*(\bigcup A_n)\le \sum mi^*(A_n)$ bo je艣li lewa strona nie jest $0$, to jest $1$, w贸wczas co najmniej jeden $A_n$ jest nieprzeliczalny, czyli prawa strona jest nie mniejsza ni偶 $1$. Szukamy zbior贸w mierzalnych w sensie Caratheodory\'ego, czyli takich $Y$, 偶e dla ka偶dego $A$ mamy $mi^*(A)=mi^*(A\cap Y)+mi^*(A\cap Y`)$ Oczywi艣cie $\emptyset$ i $X$ spe艂niaj膮 warunek. Je艣li $X$ jest przeliczalny, to wszystkie jego podzbiory b臋d膮 ten warunek spe艂nia膰, b臋dzie zawsze $0=0$. Przyjmijmy wi臋c, 偶e $X$ nieprzeliczalny. Je艣li $Y$ jest przeliczalny, jego dope艂nienie jest nieprzeliczalne. W贸wczas dla $A$ przeliczalnych jest $mi^*(A)=0=0+0=mi^*(A\cap Y)+(A\cap Y`)$, natomiast dla $A$ nieprzeliczalnych jest $mi^*(A)=1=0+1=(A\cap Y)+(A\cap Y`)$. Je艣li $Y$ jest nieprzeliczalny, a jego dope艂nienie jest przeliczalne, to sytuacja jest analogiczna, zamieniamy tylko rolami $Y$ i $Y`$. Ostatnia mo偶liwo艣膰, to 偶e $Y$ i $Y`$ s膮 oba nieprzeliczalne. W贸wczas bior膮c $A=X$ dostajemy $mi^*(A)=1\neq 2=1+1=mi^*(Y)+mi^*(Y`)$. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj