Inne, zadanie nr 2026
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
xtopeczkax post贸w: 69 |  2014-01-29 23:21:47Niech $mi^*(A)=\left\{\begin{matrix} \frac{N(A)}{1+N(A)}, \ \ gdy \ A \ jest \ zbiorem \ sko艅czonym \\ 1, \ \ gdy \ A \ jest \ zbiorem \ niesko艅czonym \end{matrix}\right.$. Wykaza膰, 偶e $mi^*$ jest miar膮 zewn臋trzn膮 i wyznaczy膰 rodzin臋 wszystkich zbior贸w mierzalnych w sensie Caratheodory\'ego. |
tumor post贸w: 8070 | 2014-06-05 16:03:22 $ mi^*(\emptyset)=0$ je艣li $A\subset B$, to $mi^*(A)\le mi^*(B)$ je艣li $A_1, A_2,...\subset R$, to $mi^*(\bigcup A_n)\le \sum mi^*(A_n)$ (sumy s膮 r贸wne, je艣li wszystkie $A_n$ s膮 puste lub je艣li niepusty jest jeden zbi贸r $A_n$. Je艣li co najmniej dwa r贸偶ne $A_i, A_j$ s膮 niepuste, to po lewej stronie nier贸wno艣ci mamy wyra偶enie nie wi臋ksze od $1$, po prawej nie mniejsze ni偶 $1$). ---- Szukamy zbior贸w mierzalnych w sensie Caratheodory\'ego, czyli takich zbior贸w $Y$, 偶e $mi^*(A)=mi^*(A\cap Y)+mi^*(A \cap Y`)$ dla wszystkich $A\subset R$. Oczywi艣cie spe艂niaj膮 te warunki zbi贸r pusty i ca艂a przestrze艅. Je艣li $Y$ jest sko艅czony niepusty (niech jest $n-1$-elementowy) i $x\notin Y$, to we藕my $A=Y\cup \{x\}$, w贸wczas $mi^*(A)=\frac{n}{n+1}<1$ Natomiast $mi^*(A\cap Y)+mi^*(A\cap Y`)\ge 1$. Czyli takie $Y$ nie spe艂niaj膮 warunku. Je艣li $Y$ jest niesko艅czony, $y\in Y$, ale istnieje $x\notin Y$, to niech $A=\{x,y\}$, wtedy $mi^*(A)=\frac{2}{3}$ $mi^*(A\cap Y)+mi^*(A\cap Y`)=1$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj