Inne, zadanie nr 2027
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
xtopeczkax post贸w: 69 |  2014-01-29 23:26:52Dla dowolnego zbioru $A\subset N$ $mi^*(A)=\left\{\begin{matrix} 0, \ \ gdy \ A=\emptyset \\ 1, \ \ gdy \ A\neq\emptyset \ i \ A-niesko艅czony \\ +\infty, \ \ gdy \ A-niesko艅czony \end{matrix}\right.$. Czy $mi^*$ jest miar膮 zewn臋trzn膮, je艣li tak to wyznaczy膰 rodzin臋 wszystkich zbior贸w mierzalnych w sensie Caratheodory\'ego |
tumor post贸w: 8070 | 2014-05-18 08:36:21 W poleceniu na pewno jest b艂膮d, prawdopodobnie w 艣rodkowym wierszu ma by膰 \"A niepusty i sko艅czony\" W贸wczas $mi^*(\emptyset)=0$ Je艣li $A\subset B\subset N$, to $mi^*(A)\le mi^*(B)$ oraz $mi^*(\bigcup A_n) \le \sum mi^*(A_n)$ bowiem: a) je艣li wszystkie $A_n$ puste, to suma pusta i po obu stronach mamy $0$ b) je艣li $\bigcup A_n$ niepusta sko艅czona, to po lewej mamy $1$, po prawej co najmniej $1$ (bo co najmniej jeden zbi贸r $A_i$ by艂 niepusty sko艅czony) c) je艣li $\bigcup A_n$ niesko艅czona, to istnieje $A_i$ niesko艅czony lub niepustych zbior贸w w ci膮gu $A_n$ jest niesko艅czenie wiele, w obu przypadkach prawa strona r贸wna jest $\infty$. Zatem $mi^*$ jest miar膮 zewn臋trzn膮. Zastan贸wmy si臋 teraz, jakie zbiory $A$ spe艂niaj膮 warunek $\forall_B mi^*(B)=mi^*(A\cap B)+mi^*(A`\cap B)$. W oczywisty spos贸b warunek jest spe艂niony dla zbioru pustego i dla $N$. Je艣li $A$ nie jest zbiorem pustym i nie jest r贸wny $N$, to we藕my $B=\{a,b\}$ gdzie $a\in A, b\notin A$. W贸wczas $mi^*(B)=1$, natomiast $mi^*(A\cap B)+mi^*(A`\cap B)=1+1=2\neq mi^*(B)$. Tylko dwa zbiory s膮 mierzalne w sensie Caratheodory\'ego. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj