Inne, zadanie nr 2034
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
xtopeczkax post贸w: 69 |  2014-01-30 08:43:26Niech dana b臋dzie przestrze艅 z miar膮 $(Y,N,v)$ oraz odwzorowanie $f:X\rightarrow Y$. Oznaczmy $M=\{f^{-1}(B):B\in N\}$ oraz dla ka偶dego $A\in M$ po艂贸偶my $mi(A)=inf\{v(B):B\in N, \ A=f^{-1}(B)\}$. Wykaza膰, 偶e $mi$ jest miar膮 |
tumor post贸w: 8070 | 2014-06-05 16:31:02 $ mi(\emptyset)=0$ Niech $A_n, n\in N$ b臋dzie ci膮giem zbior贸w parami roz艂膮cznych. Mamy pokaza膰, 偶e zachodzi $mi(\bigcup A_n)=\sum mi(A_n)$ czyli $inf\{v(B):B\in N, \bigcup A_n=f^{-1}(B)\}=\sum inf\{v(B):B\in N, A_n=f^{-1}(B)\}$ Je艣li $A_i,A_j$ roz艂膮czne i $A_i=f^{-1}(B_i)$, $A_j=f^{-1}(B_j$), to $B_i,B_j$ roz艂膮czne. Je艣li $\bigcup A_n=f^{-1}(B_n) i v(B_n)=inf\{v(C):C\in N, \bigcup A_n=f^{-1}(C)\}$, niech w贸wczas $B=\bigcup B_n$. oczywi艣cie $v(B)=\sum inf\{v(C):C\in N, A_n=f^{-1}(C)\}$ oraz $v(B)\ge inf\{v(C):C\in N, \bigcup A_n=f^{-1}(C)\}$. Je艣li jednak istnieje $D$ takie, 偶e $\bigcup A_n=f^{-1}(D)$ oraz $v(D)<v(B)$, w贸wczas rozwa偶my $D_n=D\cap B_n$. W贸wczas $v(B_n)=v(D_n), B_n$ roz艂膮czne i $D_n$ roz艂膮czne, ale $v(\bigcup B_n)>v(D)\ge v(\bigcup D_n)$, cho膰 jednocze艣nie $\bigcup B_n$ i $\bigcup D_n$ r贸偶ni膮 si臋 o przeliczaln膮 sum臋 zbior贸w miary zero, czyli powinny mie膰 miary r贸wne. Sprzeczno艣膰. Takie $D$ nie istnieje. ----- Tak na dobr膮 spraw臋 wypada pokaza膰, 偶e istnieje zawsze zbi贸r, kt贸rego miara jest r贸wna temu infimum miar. Wystarczy zauwa偶y膰, 偶e przekr贸j wszystkich $B$, kt贸rych przeciwobrazy s膮 r贸wne $A$, spe艂nia taki warunek. A tak teraz my艣l臋, 偶e mo偶e rozwi膮zanie by艂oby czytelniejsze, gdyby od razu zamiast tych infim贸w rozwa偶a膰 przekroje. ;) |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj