logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 205

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

mat12
postów: 221
2011-11-19 08:50:51

obliczyć tą granicę
$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{e^{x^{2}+y^{2}}-1}{x^{2}+y^{2}}$

Proszę o pomoc.z góry dziękuję


tumor
postów: 8070
2012-09-21 10:04:29

Zastosujemy podstawienie

$t_n=x_n^2+y_n^2$
Chcemy rozpatrzyć wszystkie ciągi $(x_n,y_n)$ zbieżne do $(0,0)$, ale interesują nas tylko wartości wyrażeń $x^2+y^2=t$, zatem nie potrzeba rozpatrywać zadania jak granicy funkcji dwóch zmiennych.

$\lim_{(x,y) \to (0,0)}\frac{e^{x^2+y^2}-1}{x^2+y^2}=\lim_{t \to (0^+)}\frac{e^{t}-1}{t}=1$

Ostatnia równość to znany wzór. Szybko otrzymujemy wartość granicy z reguły de l'Hospitala.
Jeśli nie chcemy jej użyć, korzystamy na przykład z zapisu:
$e^t=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^n}{n!}$

Wówczas dla $0<t<1$ mamy $0<\frac{e^{t}-1}{t}=\frac{-1+1+t+t^2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^n}{(n+2)!}}{t}$

oraz
$1\le\frac{-1+1+t+t^2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^n}{(n+2)!}}{t}\le\frac{t+t^2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+2)!}}{t}=\frac{t+t^2C}{t}=1+tC$

co z twierdzenia o trzech funkcjach (ciągach) i wobec zbieżności szeregu $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+2)!}=C$ (z d'Alemberta najszybciej albo z porównawczego) daje oczekiwaną granicę.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 50 drukuj