Analiza matematyczna, zadanie nr 205
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
mat12 post贸w: 221 |  2011-11-19 08:50:51obliczy膰 t膮 granic臋 $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{e^{x^{2}+y^{2}}-1}{x^{2}+y^{2}}$ Prosz臋 o pomoc.z g贸ry dzi臋kuj臋 |
tumor post贸w: 8070 | 2012-09-21 10:04:29 Zastosujemy podstawienie $t_n=x_n^2+y_n^2$ Chcemy rozpatrzy膰 wszystkie ci膮gi $(x_n,y_n)$ zbie偶ne do $(0,0)$, ale interesuj膮 nas tylko warto艣ci wyra偶e艅 $x^2+y^2=t$, zatem nie potrzeba rozpatrywa膰 zadania jak granicy funkcji dw贸ch zmiennych. $\lim_{(x,y) \to (0,0)}\frac{e^{x^2+y^2}-1}{x^2+y^2}=\lim_{t \to (0^+)}\frac{e^{t}-1}{t}=1$ Ostatnia r贸wno艣膰 to znany wz贸r. Szybko otrzymujemy warto艣膰 granicy z regu艂y de l\'Hospitala. Je艣li nie chcemy jej u偶y膰, korzystamy na przyk艂ad z zapisu: $e^t=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^n}{n!}$ W贸wczas dla $0<t<1$ mamy $0<\frac{e^{t}-1}{t}=\frac{-1+1+t+t^2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^n}{(n+2)!}}{t}$ oraz $1\le\frac{-1+1+t+t^2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^n}{(n+2)!}}{t}\le\frac{t+t^2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+2)!}}{t}=\frac{t+t^2C}{t}=1+tC$ co z twierdzenia o trzech funkcjach (ci膮gach) i wobec zbie偶no艣ci szeregu $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+2)!}=C$ (z d\'Alemberta najszybciej albo z por贸wnawczego) daje oczekiwan膮 granic臋. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj