logowanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 2051

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

Autor	Zadanie / RozwiÄ zanie
naimad21 postów: 380	2014-01-31 17:36:54 Obliczyć granicę: $\lim_{x \to 0+}[ctg(x+2x^{2})ctg(x+7x^{2})-ctg(x+4x^{2})ctg(x+5x^{2})]$
naimad21 postów: 380	2014-02-03 12:44:53 może jakaś wskazówka ? :)
tumor postĂłw: 8070	2014-02-03 13:15:44 A tu się nie boisz, Ĺźe dostaniesz punkty za rozwiÄ zanie? :) ZauwaĹź, Ĺźe masz $f(x)-g(x)$, przy tym i odjemna i odjemnik dÄ ĹźÄ do nieskończoności (albo obie do -nieskończoności, co na jedno wychodzi, wystarczy zmienić kolejność). WyraĹźenia dajÄ ce symbol $[\infty-\infty]$ często chcÄ być zrobione z reguły de l\'Hospitala. Czyli tak przekształć, Ĺźeby się jÄ dało zastosować. Da się np zrobić myk taki: $f(x)-g(x)=\frac{1}{\frac{1}{f(x)}}-\frac{1}{\frac{1}{g(x}}= \frac{\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{f(x)}}{\frac{1}{f(x)g(x)}}$ i jak widać dostajemy symbol $[\frac{0}{0}]$ czyli moĹźe po de l\'Hospitalu coś się poprawi. Natomiast w tym przykładzie niekoniecznie takie przekształcenie będzie najlepsze. Tu juĹź $ctg$ daje się zapisać jako ułamek, więc moĹźna do wspĂłlnego mianownika sprowadzać inaczej. :) Powiedz potem, czy wyszło. Bo jak nie wyszło, to będziemy testować inne metody. Mnie się po prostu nie chce tego rozpisywać, duĹźo liter. :)
naimad21 postów: 380	2014-02-03 14:13:05 Autor zadania za komentarze nie dostaje pkt :) ok, spróbuje tak zrobić, trochę to potrwa, ale może w końcu coś sensownego wyjdzie :D ja kombinowałem coś ze wzorami trygonometrycznymi, ale słabo mi to cos szło ;)
naimad21 postĂłw: 380	2014-02-03 14:59:16 hmm, chyba się poddaje, pochodna z licznika i mianownika tego ułamka wychodzi kosmiczna, po sprĂłbowaniu sprowadzenia licznika i mianownika do wspĂłlnego ich wspĂłlnych mianownikĂłw, nie mieści mi się na kartce A4, dodatkowo dochodzi $sin^{2}$, a ctg się nie poskracajÄ do końca :/ Wynik granicy tej funkcji wynosi 6, jeśli to cokolwiek pomoĹźe.
tumor postĂłw: 8070	2014-02-03 22:27:15 MoĹźe pomoĹźe, ale Ĺźe mnie zmuszasz do dziubdziania się, to okropne. Poza tym myśl, jak skrĂłcić pisaninę. A,B,C,D niech oznaczajÄ argumenty funkcji trygonometrycznych w poleceniu, bo nie będę ich przepisywać co chwilę. Po pierwsze ctgx w zerze zachowuje się jak $\frac{1}{x}$, bo $\lim_{x \to 0}\frac{tgx}{x}=1$. MoĹźna więc policzyć granicę z $\frac{1}{AB}-\frac{1}{CD}=\frac{CD-AB}{ABCD}=\frac{6x^4}{x^4+\mbox{wyĹźsze potęgi x}}$ Symbol $[\frac{0}{0}]$ się nadaje do de l\'Hospitala, ktĂłrego stosujemy czterokrotnie, aĹź dostajemy niezerowe wyrazy wolne, będzie $\frac{6*4!}{1*4!}=6$. Jak chcemy liczyć uczciwie, to się urobimy. To znaczy ja. $\lim_{x \to 0+}\frac{cos(A)}{sin(A)}*\frac{cos(B)}{sin(B)}-\frac{cos(C)}{sin(C)}*\frac{cos(D)}{sin(D)}= \lim_{x \to 0+}\frac{cos(A)cos(B)sin(C)sin(D)-cos(C)cos(D)sin(A)sin(B)}{sin(A)sin(B)sin(C)sin(D)}= \lim_{x \to 0+}\frac{cos(A)cos(B)sin(C)sin(D)-cos(C)cos(D)sin(A)sin(B)}{ABCD}*\frac{ABCD}{sin(A)sin(B)sin(C)sin(D)}=$ Drugi czynnik oczywiście ma granicę 1, czyli go ignorujemy. Liczymy granicę pierwszego czynnika. Mamy przemnoĹźone przez siebie milion funkcji trygonometrycznych, co sprawi, Ĺźe pochodna będzie ogromna. Ale moĹźemy uĹźyć wzorĂłw: $sin(A)cos(C)=\frac{1}{2}(sin(A+C)+sin(A-C))$ albo na $sin(A)sin(B)=..$ Wtedy zamiast iloczynu czterech funkcji dostaniemy w liczniku duĹźÄ sumę iloczynĂłw 2 funkcji, a wtedy dalej moĹźemy szukać wzorĂłw. :) Mianownik jest dla $x=0$ rĂłwny 0. Dopiero czwarta pochodna z mianownika nie będzie 0. Pozostaje niestety liczyć 4 pochodne licznika, ale jak go przekształcimy, to będzie szybciej. :) weĹşmy na przykład $f(x)=cos(A)cos(B)sin(C)sin(D)-cos(C)cos(D)sin(A)sin(B)= \frac{1}{4}(cos(A-B)+cos(A+B))(cos(C-D)-cos(C+D)))- \frac{1}{4}(cos(C-D)+cos(C+D))(cos(A-B)-cos(A+B)))= \frac{1}{2}[cos(A+B)cos(C-D)-cos(A-B)cos(C+D)]= \frac{1}{4}[cos(A+B+C-D)+ cos(A+B-C+D)-cos(A-B+C+D)-cos(-A+B+C+D)]$ No i nie wyglÄ da strasznie, prawda? :) $f`(x)=\frac{1}{4}(-sin(A+B+C-D)(16x+2)-sin(A+B-C+D)(20x+2)+sin(A-B+C+D)(8x+2)+sin(-A+B+C+D)(28x+2))\rightarrow 0$ $f``(x)=\frac{1}{4}( -cos(A+B+C-D)(16x+2)^2-cos(A+B-C+D)(20x+2)^2+cos(A-B+C+D)(8x+2)^2+cos(-A+B+C+D)(28x+2)^2 -sin(A+B+C-D)16-sin(A+B-C+D)20+sin(A-B+C+D)8+sin(-A+B+C+D)28 )\rightarrow 0$ $f```(x)=\frac{1}{4}( sin(A+B+C-D)(16x+2)^3+sin(A+B-C+D)(20x+2)^3-sin(A-B+C+D)(8x+2)^3-sin(-A+B+C+D)(28x+2)^3 -cos(A+B+C-D)2(16x+2)*16-cos(A+B-C+D)2(20x+2)*20+cos(A-B+C+D)2(8x+2)*8+cos(-A+B+C+D)2(28x+2)*28 -cos(A+B+C-D)(16x+2)16-cos(A+B-C+D)(20x+2)20+cos(A-B+C+D)(8x+2)8+cos(-A+B+C+D)(28x+2)28 )\rightarrow 0$ $f^{(4)}(x)=\frac{1}{4}( \mbox{ pomijam trochę wyrazĂłw bo się zerujÄ } -cos(A+B+C-D)3*16*16-cos(A+B-C+D)3*20*20+cos(A-B+C+D)3*8*8+cos(-A+B+C+D)3*28*28 )\rightarrow -3*64-3*100+3*16+3*196=3*48=6*4!$ A czwarta pochodna mianownika to $4!$ :) Zgadza się, jupi. ;)
naimad21 postĂłw: 380	2014-02-05 13:03:59 dziękuje za fatyge :) ten pierwszy sposĂłb bardzo sprytny w drugim \"troche\" więcej liczenia, ja nie zamieniałem ctg(A) tylko z tego pochodnÄ liczyłem, dlatego się troszke wkopałem w liczenie :/
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj

© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj