Analiza matematyczna, zadanie nr 2052
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
naimad21 post贸w: 380 |  2014-01-31 17:38:54Pocz膮tkowym wyrazem ci膮gu jest dowolna liczba wymierna. Kolejny wyraz ci膮gu powstaje przez dopisanie na ko艅cu licznika oraz mianownika poprzedniego wyrazu dowolnej cyfry (niekoniecznie tej samej).Pokaza膰, ze ka偶dy ci膮g otrzymany tym sposobem jest zbie偶ny. |
naimad21 post贸w: 380 | 2014-02-03 12:44:34 mo偶e jaka艣 wskaz贸wka ? :) |
tumor post贸w: 8070 | 2014-02-03 14:47:01 Niech $a_1$ b臋dzie nasz膮 liczb膮 wymiern膮. Mo偶e by膰 dodatnia, prawda? Je艣li by艂aby ujemna, to faktu zbie偶no艣ci to nijak nie zmieni, b臋dzie tylko zbie偶no艣膰 do liczby przeciwnej. :) Najmniej mo偶emy dopisa膰 cyfr臋 $0$, najwi臋cej cyfr臋 $9$. Mamy zatem $\frac{10}{19}a_1 \le a_2 \le \frac{19}{10}a_1$ (Przez $19$ mno偶ymy tylko, je艣li do liczby $1$ dodamy cyfr臋 $9$, w innych przypadkach to b臋dzie mno偶enie przez mniejsz膮 liczb臋). Podobnie $\frac{100}{109}a_2 \le a_3 \le \frac{109}{100}a_2$ $\frac{1000}{1009}a_3 \le a_4 \le \frac{1009}{1000}a_3$ $\frac{10000}{10009}a_4 \le a_5 \le \frac{10009}{10000}a_4$ $\frac{100000}{100009}a_5 \le a_6 \le \frac{100009}{100000}a_5$ $\frac{1000000}{1000009}a_6 \le a_7 \le \frac{1000009}{1000000}a_6$ .... Mo偶emy zatem szacowa膰 (grubo, co tam): $|a_2-a_1|\le a_1$ $|a_3-a_2|\le \frac{1}{10}a_2 \le \frac{1}{10}*2a_1$ $|a_4-a_3|\le \frac{1}{100}a_3 \le \frac{1}{100}*\frac{11}{10}a_2 \le \frac{1}{100}*\frac{11}{10}*2a_1$ $|a_5-a_4|\le \frac{1}{1000}a_4\le \frac{1}{1000}*\frac{101}{100}a_3 \le \frac{1}{1000}*\frac{101}{100}*\frac{11}{10}a_2\le \frac{1}{1000}*\frac{101}{100}*\frac{11}{10}*2a_1 $ ... Zatem kolejne r贸偶nice daj膮 si臋 oszacowa膰 przez $|a_{n+1}-a_n| \le (\frac{1}{10})^{n-1}*(\frac{11}{10})^{n-2}*2a_1$ Suma wszystkich r贸偶nic jest mniejsza ni偶 suma szeregu geometrycznego (zbie偶nego), co dowodzi tezy. :) Oczywi艣cie dodaj臋 tu warto艣ci bezwzgl臋dne, ale suma liczb jest mniejsza lub r贸wna od sumy ich warto艣ci bezwzgl臋dnych. |
naimad21 post贸w: 380 | 2014-02-03 17:54:06 dzi臋kuje ;) |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj