Analiza matematyczna, zadanie nr 2053
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / RozwiÄ…zanie |
naimad21 postów: 380 |  2014-01-31 17:41:49Jak przez środek elipsy o połosiach a,b (a > b) poprowadzić dwie prostopadłe cięciwy, aby ich łączna długość była: a) najmniejsza, b) największa? Wiadomość była modyfikowana 2014-01-31 17:42:04 przez naimad21 |
przyjaciel postów: 4 | 2014-02-03 03:44:28 Rozwazmy rownanie elipsy $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$. Niech $\alpha$ bedzie katem miedzy cieciwa przechodzaca przez srodek elipsy, a osia $OX$. Niech ponadto $(x\',y\')$ bedzie punktem przeciecia cieciwy z brzegiem elipsy, wowczas $\left\{\begin{matrix} \frac{x}{\sqrt{x\'^2+y\'^2}}=\sin \alpha ,\\ y\'= \sqrt{b^2 \frac{x\'^2 b^2}{a^2}}, \end{matrix}\right.$ a stad dostajemy $x\'^2=x\'^2 \sin^2 \alpha +b^2 \sin^2 \alpha -\frac{x\'^2 b^2 \sin^2 \alpha}{a^2} $ $x\'^2= \frac{a^2 b^2 \sin^2 \alpha}{a^2 \cos^2 \alpha +b^2 \sin^2 \alpha}$. A stad $y\'^2= \frac{a^2 b^2 \cos^2 \alpha}{a^2 \cos^2 \alpha +b^2 \sin^2 \alpha}$. Niech $r(\alpha)$ oznacza dlugosc cieciwy; zauwazmy, ze $r(\alpha)=2\frac{a b }{\sqrt{a^2 \cos^2 \alpha +b^2 \sin^2 \alpha}}$. Wreszcie oznaczmy przez $d(\alpha)$ laczna dlugosc prostopadlych cieciw, przechodzacych przez srodek elipsy, z czego jedna pod katem $\alpha$ do osi $OX$. Bedziemy szukac katow $\alpha$, dla ktorych wartosc $d(\alpha)$ przyjmuje ekstremum. Policzmy najpierw $d(\alpha)=r(\alpha)+r(\alpha+\frac{\pi}{2})=2\frac{a b }{\sqrt{a^2 \cos^2 \alpha +b^2 \sin^2 \alpha}}+2\frac{a b }{\sqrt{a^2 \sin^2 \alpha +b^2 \cos^2 \alpha}}$. Obliczmy pochodna funkcji $d$ $d\'(\alpha)=2ab(\frac{-1}{2})(a^2 \cos^2 \alpha +b^2 \sin^2 \alpha)^{-\frac{3}{2}}(2 a^2 \cos \alpha (-\sin \alpha)+2b^2 \sin \alpha \cos \alpha)$ $+2ab(\frac{-1}{2})(a^2 \sin^2 \alpha +b^2 \cos^2 \alpha)^{-\frac{3}{2}}(2 a^2 \sin \alpha \cos \alpha+2b^2 \cos \alpha (-\sin \alpha))$ $-\frac{d\'(\alpha)}{2ab (a^2-b^2)}=\sin\alpha\cos\alpha\left( (a^2 \cos^2 \alpha +b^2 \sin^2 \alpha)^{-\frac{3}{2}}-(a^2 \sin^2 \alpha +b^2 \cos^2 \alpha)^{-\frac{3}{2}}\right)$. Zauwazmy, ze $d\'(\alpha)=0\iff \sin\alpha\cos\alpha=0 \vee (a^2 \cos^2 \alpha +b^2 \sin^2 \alpha)=(a^2 \sin^2 \alpha +b^2 \cos^2 \alpha) $. $\iff\alpha = 0 \vee \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha \iff \alpha=0 \vee \alpha = \frac{\pi}{4}$. Otrzymalismy, ze jedyne miejsca, w ktorych funkcja $d$ moze przyjmowac ekstrema, to $0$ i $\frac{\pi}{4}$. Patrzac na to jak wyglada pochodna funkcji $d$, ciezko oczekiwac, by sprawdzenie zmiany znaku, bylo zadaniem latwym. O wiele latwiej obliczyc wartosci funkcji $d$ w punktach podejrzanych o ekstrema i sprawdzic, ktora jest ewentualnie wieksza. $d(0)=a+b$ a $d(\frac{\pi}{4})=\frac{2\sqrt{2}ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$ Pozostawiam do sprawdzenia, ze $d(0)>d(\frac{\pi}{4})$, co zakonczy zadanie. https://www.facebook.com/pages/Powiernik-żywych |
naimad21 postów: 380 | 2014-02-03 12:44:09 Dziękuje bardzo za rozwiązanie ! |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj