Algebra, zadanie nr 2115
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
dawittt postów: 2 | 2014-02-08 00:39:54 zadanie 1 Zbadać wzajemne położenie dwóch płaszczyzn o równaniach H1: mx+my-(6-m)z=2m-2, H2: 2x+2y-(m+2)z=2 w zależności od rzeczywistego parametru m. W przypadku, gdy są równoległe, znaleźć odległość między nimi, a gdy m=-2 - obliczyć ctg kąta między nimi. zadanie 2 Zbadać wzajemne położenie trzech płaszczyzn : H1: 3x - my + 3z = 3 H2: mx - y - 3z = 0 H3: x + y + z = 1 w zależności od parametru m należy do R. W przypadku, gdy się przecinają wzdłuż prostej, znaleźć odległość punktu (-1,0,0) od tej prostej. To pierwsze zadanie wiem mniej więcej o co chodzi, ale nie wiem czy dobrze to rozumiem, natomiast to drugie trzeba chyba rozwiązywać metodą Gaussa ? Nie jestem pewny co do tych zadań i chciałbym żeby ktoś mi to wyjaśnił. Żeby nie było, że jestem leniem i nie próbowałem to zadanie 1 zrobiłbym tak, że jeśli płaszczyzny są równoległe to ich wektory normalne też są równoległe więc z własności na równoległość wektorów wyznaczyłbym równanie, wyszłoby równanie kwadratowe, liczę deltę i wyjdzie m1=2 m2=-6 i liczę odległość najpierw, gdy m=2 a później, gdy m=-6 tak ? A później podstawiam m=-2 i obliczam ten kąt ctg dla m=-2, tak ? A w 2 zadaniu nie będę strzelał jak myślę bo pewnie mnie wyśmiejecie. Z góry dziękuje za pomoc i przepraszam za tak długą treść... I mogące zdarzyć się błędy ortograficzne, ale uczę się do egzaminu i uświadomiłem sobie, że nie bardzo wiem jak robić takie zadania. Aa i nie wiedziałem do jakiego działu to dać, algebra czy geometria.. |
dawittt postów: 2 | 2014-02-08 13:22:09 pomózcie, proszę |
tumor postów: 8070 | 2014-08-21 09:07:38 $(3,-m,3)$ $(m,-1,-3)$ $(1,1,1)$ Pierwsze dwie nigdy nie są równoległe. Pierwsza z trzecią są równoległe dla $m=-3$, a nawet się wtedy pokrywają. Druga z trzecią nigdy nie są równoległe. Weźmy układ $\left\{\begin{matrix} 3x - my + 3z = 3 \\ mx - y - 3z = 0 \\ x + y + z = 1 \end{matrix}\right.$ o macierzy $\left[\begin{matrix} 3&-m & 3 &3 \\ m&-1&-3&0 \\ 1&1&1&1 \end{matrix}\right]$ gdy $det \left[\begin{matrix} 3&-m & 3 \\ m&-1&-3\\ 1&1&1 \end{matrix}\right]=m^2+6m+9=(m+3)^2$ dla $m\neq -3$ wyznacznik jest niezerowy, wtedy układ ma jednoznaczne rozwiązanie, czyli te trzy płaszczyzny przecinają się w jednym punkcie, a nie na prostej. dla $m=-3$, jak już powiedzieliśmy wcześniej, dwie z płaszczyzn się pokrywają, a trzecia nie jest do nich równoległa, zatem pokrywają się na prostej $\left\{\begin{matrix} 3x + y + 3z = 0 \\ x + y + z = 1 \end{matrix}\right.$ Stąd $2y=3$ oraz $2x+2z=-1$ $y=\frac{3}{2}$ $z=-x-\frac{1}{2}$ czyli prosta zapisana parametrycznie to $\left\{\begin{matrix} x=t \\ y=\frac{3}{2} \\z=-t-\frac{1}{2} \end{matrix}\right.$ Jej odległość od $(-1,0,0)$ to $inf_t \sqrt{(t+1)^2+\frac{9}{4}+(t+\frac{1}{2})^2}$ by znaleźć $t$ wystarczy znaleźć wierzchołek paraboli $(t+1)^2+(t+\frac{1}{2})^2=2t^2+3t+\frac{5}{4}$, mamy $t=\frac{-3}{4}$ Zatem odległość to $\sqrt{\frac{1}{16}+\frac{36}{16}+\frac{1}{16}}=\frac{\sqrt{38}}{4}$ Jeśli się gdzieś nie machnąłem. Ale sposób rozwiązania dobry. ;) |
tumor postów: 8070 | 2014-08-21 09:40:52 1. $mx+my-(6-m)z=2m-2$ $2x+2y-(m+2)z=2$ Wektory normalne $(m,m,m-6)$ $(2,2,-m-2)$ Jeden jest drugim pomnożonym przez liczbę gdy $2=am$ $-m-2=a(m-6)$, stąd $-m-2=2-6a$ $m=6a-4$ $2=a(6a-4)$ $6a^2-4a-2=0$ $a_1=1$ $a_2=-\frac{1}{3}$ $m_1=2$ (przy tym dla tej wartości pokrywają się) $m_2=-6$ Weźmy m=-6 mamy płaszczyzny $-6x-6y-12z=-14$ $2x+2y+4z=2$ co może nieco uprościmy H_1: $3x+3y+6z=7$ H_2: $x+y+2z=1$ Do pierwszej płaszczyzny należy na przykład punkt $(\frac{7}{3},0,0)$, gdy dodamy do niego wektor $\frac{a}{\sqrt{6}}[1,1,2]$ o długości $|a|$ otrzymamy punkt należący do drugiej płaszczyzny. $(\frac{7}{3}+\frac{a}{\sqrt{6}}, \frac{a}{\sqrt{6}},\frac{2a}{\sqrt{6}})\in H_2$ czyli $\frac{7}{3}+\frac{a}{\sqrt{6}}+\frac{a}{\sqrt{6}}+\frac{4a}{\sqrt{6}}=1$ $|a|$ jest szukaną odległością (poza tym, że obliczenia robiłem na szybko i nie sprawdzałem) --- dla $m=-2$ mamy $-2x-2y-8z=-6$ $2x+2y=2$ czyli $x+y+4z=3$ $x+y=1$ Wektory normalne tych płaszczyzn to $[1,1,4]$ i $[1,1,0]$, to jeszcze je podzielmy przez ich długości, dostajemy $[\frac{1}{\sqrt{18}},\frac{1}{\sqrt{18}},\frac{6}{\sqrt{18}}], [\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0]$ wtedy $cos$ kąta między nimi to ich iloczyn skalarny, a $ctg$ łatwo otrzymać z $cos$. |
pascal postów: 1 | 2014-08-25 20:35:15 Fajnie, że tutrafiłem. Bardzo pomocne forum. |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj