logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 2115

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

dawittt
postów: 2
2014-02-08 00:39:54

zadanie 1

Zbadać wzajemne położenie dwóch płaszczyzn o równaniach H1: mx+my-(6-m)z=2m-2, H2: 2x+2y-(m+2)z=2 w zależności od rzeczywistego parametru m. W przypadku, gdy są równoległe, znaleźć odległość między nimi, a gdy m=-2 - obliczyć ctg kąta między nimi.



zadanie 2

Zbadać wzajemne położenie trzech płaszczyzn :

H1: 3x - my + 3z = 3

H2: mx - y - 3z = 0

H3: x + y + z = 1

w zależności od parametru m należy do R. W przypadku, gdy się przecinają wzdłuż prostej, znaleźć odległość punktu (-1,0,0) od tej prostej.





To pierwsze zadanie wiem mniej więcej o co chodzi, ale nie wiem czy dobrze to rozumiem, natomiast to drugie trzeba chyba rozwiązywać metodą Gaussa ? Nie jestem pewny co do tych zadań i chciałbym żeby ktoś mi to wyjaśnił. Żeby nie było, że jestem leniem i nie próbowałem to zadanie 1 zrobiłbym tak, że jeśli płaszczyzny są równoległe to ich wektory normalne też są równoległe więc z własności na równoległość wektorów wyznaczyłbym równanie, wyszłoby równanie kwadratowe, liczę deltę i wyjdzie m1=2 m2=-6 i liczę odległość najpierw, gdy m=2 a później, gdy m=-6 tak ? A później podstawiam m=-2 i obliczam ten kąt ctg dla m=-2, tak ?
A w 2 zadaniu nie będę strzelał jak myślę bo pewnie mnie wyśmiejecie. Z góry dziękuje za pomoc i przepraszam za tak długą treść... I mogące zdarzyć się błędy ortograficzne, ale uczę się do egzaminu i uświadomiłem sobie, że nie bardzo wiem jak robić takie zadania. Aa i nie wiedziałem do jakiego działu to dać, algebra czy geometria..


dawittt
postów: 2
2014-02-08 13:22:09

pomózcie, proszę


tumor
postów: 8070
2014-08-21 09:07:38

$(3,-m,3)$
$(m,-1,-3)$
$(1,1,1)$
Pierwsze dwie nigdy nie są równoległe.
Pierwsza z trzecią są równoległe dla $m=-3$, a nawet się wtedy pokrywają.
Druga z trzecią nigdy nie są równoległe.

Weźmy układ
$\left\{\begin{matrix} 3x - my + 3z = 3 \\ mx - y - 3z = 0 \\ x + y + z = 1 \end{matrix}\right.$
o macierzy
$\left[\begin{matrix} 3&-m & 3 &3 \\ m&-1&-3&0 \\ 1&1&1&1 \end{matrix}\right]$
gdy
$det \left[\begin{matrix} 3&-m & 3 \\ m&-1&-3\\ 1&1&1 \end{matrix}\right]=m^2+6m+9=(m+3)^2$
dla $m\neq -3$ wyznacznik jest niezerowy, wtedy układ ma jednoznaczne rozwiązanie, czyli te trzy płaszczyzny przecinają się w jednym punkcie, a nie na prostej.

dla $m=-3$, jak już powiedzieliśmy wcześniej, dwie z płaszczyzn się pokrywają, a trzecia nie jest do nich równoległa, zatem pokrywają się na prostej
$\left\{\begin{matrix} 3x + y + 3z = 0 \\ x + y + z = 1 \end{matrix}\right.$
Stąd $2y=3$
oraz $2x+2z=-1$
$y=\frac{3}{2}$
$z=-x-\frac{1}{2}$
czyli prosta zapisana parametrycznie to
$\left\{\begin{matrix} x=t \\ y=\frac{3}{2} \\z=-t-\frac{1}{2} \end{matrix}\right.$

Jej odległość od $(-1,0,0)$ to $inf_t \sqrt{(t+1)^2+\frac{9}{4}+(t+\frac{1}{2})^2}$
by znaleźć $t$ wystarczy znaleźć wierzchołek paraboli
$(t+1)^2+(t+\frac{1}{2})^2=2t^2+3t+\frac{5}{4}$,
mamy $t=\frac{-3}{4}$
Zatem odległość to $\sqrt{\frac{1}{16}+\frac{36}{16}+\frac{1}{16}}=\frac{\sqrt{38}}{4}$

Jeśli się gdzieś nie machnąłem. Ale sposób rozwiązania dobry. ;)


tumor
postów: 8070
2014-08-21 09:40:52

1.
$mx+my-(6-m)z=2m-2$
$2x+2y-(m+2)z=2$

Wektory normalne
$(m,m,m-6)$
$(2,2,-m-2)$
Jeden jest drugim pomnożonym przez liczbę gdy
$2=am$
$-m-2=a(m-6)$, stąd
$-m-2=2-6a$
$m=6a-4$
$2=a(6a-4)$
$6a^2-4a-2=0$
$a_1=1$
$a_2=-\frac{1}{3}$
$m_1=2$ (przy tym dla tej wartości pokrywają się)
$m_2=-6$

Weźmy m=-6
mamy płaszczyzny
$-6x-6y-12z=-14$
$2x+2y+4z=2$
co może nieco uprościmy
H_1: $3x+3y+6z=7$
H_2: $x+y+2z=1$

Do pierwszej płaszczyzny należy na przykład punkt $(\frac{7}{3},0,0)$, gdy dodamy do niego wektor $\frac{a}{\sqrt{6}}[1,1,2]$ o długości $|a|$ otrzymamy punkt należący do drugiej płaszczyzny.
$(\frac{7}{3}+\frac{a}{\sqrt{6}}, \frac{a}{\sqrt{6}},\frac{2a}{\sqrt{6}})\in H_2$
czyli
$\frac{7}{3}+\frac{a}{\sqrt{6}}+\frac{a}{\sqrt{6}}+\frac{4a}{\sqrt{6}}=1$
$|a|$ jest szukaną odległością (poza tym, że obliczenia robiłem na szybko i nie sprawdzałem)


---
dla $m=-2$ mamy
$-2x-2y-8z=-6$
$2x+2y=2$
czyli
$x+y+4z=3$
$x+y=1$

Wektory normalne tych płaszczyzn to $[1,1,4]$ i $[1,1,0]$, to jeszcze je podzielmy przez ich długości, dostajemy
$[\frac{1}{\sqrt{18}},\frac{1}{\sqrt{18}},\frac{6}{\sqrt{18}}], [\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0]$
wtedy $cos$ kąta między nimi to ich iloczyn skalarny, a $ctg$ łatwo otrzymać z $cos$.


pascal
postów: 1
2014-08-25 20:35:15

Fajnie, że tutrafiłem. Bardzo pomocne forum.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj