Analiza matematyczna, zadanie nr 2123
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
sidr post贸w: 9 |  2014-02-08 22:06:30Prosz臋 o pomoc w rozwi膮zaniu jeszcze jednej nier贸wno艣ci. $x\le3-\frac{1}{x-1}$ |
tumor post贸w: 8070 | 2014-02-08 23:03:40 $x\neq 1$ Pierwszy spos贸b $0 \le \frac{-x(x-1)+3(x-1)-1}{x-1}$ $0 \le \frac{-x^2+4x-4}{x-1}$ $0 \le \frac{(x-2)(2-x)}{x-1}$ $0 \le (x-2)^2(1-x)$ je艣li $x\neq 2$ to dzielimy przez $(x-2)^2$ $0 \le 1-x$ $x\le 1$ a je艣li $x=2$ to nier贸wno艣膰 spe艂niona $x\in (-\infty, 1)\cup\{2\}$ ------ Inaczej, mo偶e 艂adniej: Mo偶na pokaza膰, 偶e $\frac{1}{x}+x \ge 2$ dla $x>0$. Bowiem dla $x=1$ mamy $\frac{1}{x}+x=2$, natomiast je艣li $x=1+a$ (dla $a>0$), to $\frac{1}{x}+x=\frac{1}{1+a}+1+a=1+\frac{1+a+a^2}{1+a}>1+1=2$. Zauwa偶my, 偶e nier贸wno艣膰 $x\le 3-\frac{1}{x-1}$ to inaczej $x-1+\frac{1}{x-1}\le 2$. Dla $x-1=1$ (czyli $x=2$) mamy (rozumuj膮c jak wy偶ej), 偶e $x-1+\frac{1}{x-1}=2$, natomiast je艣li $x-1>0$ i $x\neq 2$, to $x-1+\frac{1}{x-1}>2$. Natomiast gdy $x-1<0$, to mamy $x-1+\frac{1}{x-1}<2$, bo ca艂a lewa strona jest mniejsza od $0$, czyli i od $2$. |
sidr post贸w: 9 | 2014-02-09 00:10:15 Dzi臋kuj臋! :) |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj