Topologia, zadanie nr 2157
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
misia12345 post贸w: 16 |  2014-02-14 14:51:33Niech W b臋dzie zbiorem na p艂aszczy藕nie okre艣lonym przez $W=\left\{ (x,y):0<x<1,x \in Q,0<y<x\right\}$ a) jakie jest domkni臋cie zbioru W? dlaczego? b) jakie jest wn臋trze zbioru W? dlaczego? c) czy W jest zbiorem sp贸jnym? dlaczego? d) czy W jest zbiorem zwartym? dlaczego? e) czy $\overline{W}$ jest zbiorem zwartym? dlaczego? zrobi艂am to tak: zbi贸r W to b臋dzie $(0,1)\times (0,1)$, $Q \times R$ a) $\overline{W}=[0,1]\times[0,1]$ gdy偶 ka偶da kula o 艣rodku w tych punktach zawsze bdzie mia艂a niepust膮 cz臋艣膰 wsp贸ln膮 z zbiorem W b) $IntW=\emptyset$ bo nie istnieje 偶adna kula o 艣rodku w tych punktach, 偶eby by艂a zawarta w W i nie wyst臋powa艂a poza W c) W nie jest sp贸jny poniewa偶 nie ka偶de dwa punkty z W mo偶na po艂膮czy膰 艂aman膮 d)W jest zwarty bo jest ograniczony i domkni臋ty e)$\overline{W}$ r贸wnie偶 jest zwarty bo jest ograniczony i domkni臋ty. prosz臋 o sprawdzenie tego. :) |
tumor post贸w: 8070 | 2014-02-14 18:43:48 Przede wszystkim 藕le sobie wyobra偶asz $W$. Rozwa偶 na przyk艂ad punkt $(\frac{1}{2},\frac{3}{4})$. Czy nale偶y do $W$? Twoim zdaniem tak, a naprawd臋 nie :P Dla tego b艂臋dnie podanego W poprawnie liczysz domkni臋cie, wn臋trze, poprawnie okre艣lasz sp贸jno艣膰, niepoprawnie zwarto艣膰 i domkni臋to艣膰, poprawnie ograniczono艣膰, no a $\overline{W}$ b臋dzie zwarty jako ograniczony i domkni臋ty, gdy tylko poprawnie wyznaczysz $W$. Zatem zacznij od znalezienia b艂臋du w opisie zbioru $W$. |
misia12345 post贸w: 16 | 2014-02-14 19:33:58 hmm faktycznie bo wtedy b臋dzie sprzeczno艣膰. hmm czy to b臋dzie taka piramidka, ten zbi贸r? a najpierw napisa艂e艣, 偶e poprawnie licz臋 domkni臋cie a p贸藕niej, 偶e nie :P? to jak wko艅cu? i jak to b臋dzie z t膮 zawarto艣ci膮? z g贸ry dzi臋kuj臋 :) |
tumor post贸w: 8070 | 2014-02-14 19:58:41 $W$ jest ograniczony. $\overline{W}$ b臋dzie oczywi艣cie domkni臋ty i pozostanie ograniczony, zatem $\overline{W}$ b臋dzie zwarty. Sam $W$ (w kszta艂cie tr贸jk膮ta r贸wnoramiennego, prostok膮tnego) nie jest domkni臋ty. We藕 jaki艣 punkt ze 艣rodka tr贸jk膮ta ale o obu wsp贸艂rz臋dnych niewymiernych. Wtedy ten punkt nie nale偶y do $W$, ale ka偶de jego otoczenie ma z W niepusty przekr贸j, czyli W domkni臋ty nie jest. Nie mo偶e by膰 zatem zwarty, bo w $R^2$ zwarte podzbiory s膮 domkni臋te i ograniczone. Poza tym $W$ nie jest sp贸jny. Mo偶na go podzieli膰 np tak: $W_1=\{(x,y)\in W: x<\frac{1}{\sqrt{2}}\}$ $W_2=W \backslash W_1$ W贸wczas zbiory $W_1, W_2 $s膮 domkni臋to-otwarte w przestrzeni $W$, co przeczy definicji sp贸jno艣ci (jako niemo偶no艣ci podzia艂u na zbiory domkni臋to-otwarte niepuste i roz艂膮czne). Argumentacja, 偶e wn臋trze $W$ b臋dzie zbiorem pustym jest dobra. Ka偶da kula o 艣rodku nale偶膮cym do $W$ ma te偶 punkty nie nale偶膮ce do $W$. Domkni臋cie $W$ to tr贸jk膮t \"wype艂niony\" i \"z brzegiem\", czyli obszar $\{(x,y): 0 \le x \le 1; 0\le y \le x \}$. |
misia12345 post贸w: 16 | 2014-02-14 21:15:13 Ok. Ale odno艣nie samego zbioru $W$ napisa艂e艣, 偶eby艣my wzi臋li jaki艣 punkt ze 艣rodka o wsp贸艂rz臋dnych niewymiernych, ale dlaczego? Nie powinni艣my bra膰 tylko punkt贸w kt贸re faktycznie nale偶膮 do zbioru? I wtedy rozapatrywali domkni臋to艣膰? |
tumor post贸w: 8070 | 2014-02-15 11:52:12 S膮 r贸偶ne warunki, kt贸re mo偶na sprawdza膰, 偶eby oceni膰, czy zbi贸r jest domkni臋ty czy otwarty. Zbi贸r otwarty $U$ to taki, 偶e dla ka偶dego $x\in U$ umiemy znale藕膰 $V$ (bazowy, a w przestrzeni metrycznej $V$ mo偶e by膰 pewn膮 kul膮 otwart膮) taki, 偶e $x\in V \subset U$. Korzysta艂em z tego w艂a艣nie warunku. Przyj膮艂em $U= R^2 \backslash W$, czyli rozpatrywa艂em dope艂nienie zbioru $W$. Wzi膮艂em zatem odpowiedni punkt z dope艂nienia i pokaza艂em, 偶e to dope艂nienie nie jest otwarte, a co za tym idzie - sam $W$ nie jest domkni臋ty. Inaczej (cho膰 podobnie) Mamy $U= R^2 \backslash W$. Mo偶na poszuka膰 wn臋trza zbioru $U$. Je艣li wn臋trze $U$ nie jest r贸wne zbiorowi $U$, to $U$ nie jest otwarty, czyli $W$ nie jest domkni臋ty. W przestrzeni $R^2$ mo偶emy jednak korzysta膰 i z innych warunk贸w. Na przyk艂ad - zbi贸r $W$ jest domkni臋ty, je艣li dla ka偶dego ci膮gu $w_n$ element贸w z $W$ zbie偶nego do granicy $w$, tak偶e granica w nale偶y do $W$. Mo偶na tu zatem wzi膮膰 $w_n=(\frac{1}{2}, \frac{1}{n+2})$ dla $n\in N$. Wszystkie $w_n$ nale偶膮 do $W$, granic膮 ci膮gu $w_n$ jest $w=(\frac{1}{2}, 0)\notin W$, czyli $W$ nie jest domkni臋ty. Mo偶na jeszcze inaczej. W jest ograniczony. Zwarto艣膰 polega na tym, 偶e z ka偶dego pokrycia otwartego mo偶na wybra膰 podpokrycie sko艅czone. Zatem mo偶na (bo da si臋) skonstruowa膰 pokrycie niesko艅czone, pokaza膰, 偶e z niego nie uda si臋 wybra膰 podpokrycia sko艅czonego, a co za tym idzie $W$ nie jest zwarty. Gdyby jako ograniczony by艂 domkni臋ty, to by艂by i zwarty, je艣li wi臋c jest ograniczony i nie jest zwarty, to nie mo偶e by膰 domkni臋ty. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj