Topologia, zadanie nr 2160
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
misia12345 post贸w: 16 |  2014-02-14 22:16:20Udowodni膰, 偶e suma dw贸ch zbior贸w domkni臋tych jest zbiorem domkni臋tym. $x\in\overline{A} \vee x\in\overline{B} \Rightarrow x\in\overline{A\cup B}$ $\forall_{r_1>0} K(x,r_1)\cap A\neq\emptyset \vee \forall_{r_2>0}\cap B\neq\emptyset \Rightarrow r=max/min(r_1,r_2), K(x,r)\cap(A\cup B)\Rightarrow x\in\overline{A\cup B}$ zgadza si臋? |
tumor post贸w: 8070 | 2014-02-15 16:30:27 Po pierwsze brakuje Ci tam czego艣 o kuli $K(x,r_2)$, co raczej chcia艂a艣 napisa膰, ale przeoczy艂a艣. :) Po drugie masz kwantyfikator $\forall$, wi臋c jak chcesz bra膰 max/min (i kt贸re w艂a艣ciwie?) ze WSZYSTKICH $r_1$ i $r_2$? Gdyby艣my mieli $\exists$, to stwierdzaliby艣my istnienie co najmniej jednego $r_1$ i jednego $r_2$ o jakiej艣 w艂asno艣ci, z dw贸ch liczb rzeczywistych da si臋 wzi膮膰 max czy min. Ale jak chcesz bra膰 max/min z wszystkich mo偶liwych promieni, tego nie wiem. :) Zapisujesz dow贸d symbolicznie, ale ani to nie jest potrzebne, 偶eby komentarza s艂ownego unika膰, ani nie jest dobrze, 偶e udaj膮c pe艂n膮 formalno艣膰 pozwalasz sobie na niedor贸bki. Niech $A,B$ s膮 domkni臋te. To znaczy $A`,B`$ s膮 otwarte. Przekr贸j dw贸ch zbior贸w otwartych jest otwarty, bowiem je艣li $x$ nale偶y do przekroju, to nale偶y do $A`$ wraz z kul膮 $K(x,r_1)$ i nale偶y do $B`$ wraz z kul膮 $K(x,r_2$). Wtedy dla $r=min(r_1,r_2)$mamy $ K(x,r)\subset A`\cap B`$, czyli $A`\cap B`$ jest otwarty. Z praw de Morgana jego dope艂nienie (czyli $A \cup B$) jest zbiorem domkni臋tym. ---- U偶ywasz warunku na sprawdzenie, czy $x$ nale偶y do domkni臋cia zbioru. Mamy $x\in \overline{A} \iff \forall_{r>0}K(x,r)\cap A \neq \emptyset$. Mo偶na go u偶y膰, 偶eby pokaza膰, 偶e $\overline{A}\cup \overline{B}=\overline{A\cup B}$ Je艣li bowiem ka偶de otoczenie $x$ ma niepusty przekr贸j z $A$, to ka偶de ma z $A\cup B$, podobnie je艣li ka偶de otoczenie $x$ ma niepusty przekr贸j z $B$, to ka偶de ma z $A\cup B$, co dowodzi inkluzji $\overline{A}\cup \overline{B}\subset \overline{A\cup B}$ Niech teraz $x$ b臋dzie taki, 偶e ka偶da kula $K(x,r)$ o dodatnim promieniu ma niepusty przekr贸j z $A\cup B$. Zatem ka偶da kula ma niepusty przekr贸j z $A$ lub ka偶da kula ma niepusty przekr贸j z $B$. Gdyby bowiem niekt贸re kule mia艂y przekr贸j tylko z $A$, inne tylko z $B$, to cz臋艣膰 wsp贸lna nie mia艂aby przekroju z $A\cup B$. Z tego mo偶na wnioskowa膰, 偶e skoro suma domkni臋膰 jest domkni臋ciem sumy, to suma zbior贸w domkni臋tych te偶 jest domkni臋ciem ich sumy, a co za tym idzie jest zbiorem domkni臋tym. |
misia12345 post贸w: 16 | 2014-02-15 18:36:35 aha no tak racja, pomiesza艂o mi si臋. a czy mo偶na by艂oby to zrobi膰 poprzez negacj臋 tzn. Za艂贸偶my, 偶e A,B domkni臋te, chcemy pokaza膰, 偶e je艣li $x \in \overline {A \cup B}$ to $x \in A \cup B$ przypu艣膰my, 偶e $x \not\in A \cup B$ wtedy $x\not\in A \wedge x\not\in B \Rightarrow x \not\in\overline A \wedge x \not\in\overline B.$ $\exists r_1>0, K(x,r_1) \cap A=\emptyset \wedge \exists r_2>0, K(x,r_2) \cap B=\emptyset \Rightarrow r=min(r_1,r_2) K(x,r) \cap A=\emptyset \wedge K(x,r) \cap B=\emptyset \Rightarrow K(x,r) \cap (A \cup B)=\emptyset \Rightarrow x\not\in\overline{A \cup B}$ czyli reasumuj膮c powy偶sze mo偶na stwierdzi膰, 偶e suma dw贸ch zbior贸w domkni臋tych jest zb. domkni臋tym? |
tumor post贸w: 8070 | 2014-02-15 19:11:51 O, ten dow贸d masz bardzo 艂adny. Gdzie艣 wcze艣niej powinien si臋 znale藕膰 dow贸d, 偶e domkni臋cie zbioru jest domkni臋te. (Bo to, 偶e si臋 nazywa tak samo, to nie znaczy, 偶e jest. Trzeba wykaza膰, 偶e w pewien spos贸b zdefiniowane domkni臋cie spe艂nia te偶 definicj臋 zbior贸w domkni臋tych, chyba 偶e si臋 definiuje zbiory domkni臋te jako pewn膮 rodzin臋 zamkni臋t膮 na niesko艅czone przekroje, a domkni臋cie jako przekr贸j pewnych zbior贸w domkni臋tych, w贸wczas to, 偶e domkni臋cie jest domkni臋te jest dane bezpo艣rednio). Zatem je艣li wcze艣niej by艂 gdzie艣 dow贸d, 偶e domkni臋cie zbioru jest domkni臋te (albo je艣li wynika to jasno z przyj臋tych definicji), to Tw贸j ostatni dow贸d jest wystarczaj膮cy. Pokazujesz, 偶e suma zbior贸w domkni臋tych (czyli r贸wnych swoim domkni臋ciom) jest zbiorem domkni臋tym (bo r贸wnym domkni臋ciu). Jak mo偶esz przeczyta膰 u Kuratowskiego czy Engelkinga, topologie mo偶na prowadza膰 r贸偶nie, mo偶na zaczyna膰 od r贸偶nych definicji. Na wyk艂adzie masz pewnie twierdzenia w pewnym uporz膮dkowaniu, natomiast ja toku wyk艂adu nie znam, wi臋c musz臋 zaznacza膰, z czego korzystam. ;) |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj