Analiza matematyczna, zadanie nr 2177
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
majewa888 post贸w: 24 |  2014-02-22 12:11:11Zbadaj a)otwarto艣膰 b)domkni臋to艣膰 c)ograniczono艣膰 d)zwarto艣膰 e) sp贸jno艣膰 f)wypuk艂o艣膰 nast臋puj膮cych zbior贸w. W ka偶dym przypadku okre艣l g)wn臋trze h)domkni臋cie oraz brzeg. 1.$A=\left\{x\in R: \sin x>\frac{1}{2}\right\}\subset R$ 2.$A=\left\{x \in R: x^7-x^2+1\le 0 \right\}\subset R$ 3.$A=\left\{x \in R^2:\sin x_1>\frac{1}{2} \right\}\subset R^2$ 4.$A=\left\{x\in R^2: x_1^{4}+x_2^{4}\le 1\right\}\subset R^2$ |
tumor post贸w: 8070 | 2014-02-22 12:51:25 O jaka spora babranina. Korzysta膰 b臋dziemy z faktu, 偶e $sin$ jest ci膮g艂y, z warunk贸w r贸wnowa偶nych ci膮g艂o艣ci (przeciwobraz zbioru domkni臋tego/otwartego jest odpowiednio domkni臋ty/otwarty), ze sp贸jno艣ci $R^n$ i warunku, 偶e w $R^n$ zbi贸r jest zwarty wtw jest domkni臋ty i ograniczony. 1. a) $A$ jest otwarty jako przeciwobraz zbioru otwartego $(\frac{1}{2},\infty)$. b) Nie jest domkni臋ty, bo jest otwarty (w przestrzeni sp贸jnej $X$ tylko $\emptyset$ i $X$ s膮 zarazem domkni臋te i otwarte) c) nie jest ograniczony, $sinx=1$ dla $x=\frac{\pi}{2}+2k\pi$, $k\in Z$ d) nie jest ograniczony, to i zwarty by膰 nie mo偶e |
tumor post贸w: 8070 | 2014-02-22 13:00:20 1. e) sp贸jny nie jest, bo je艣li $A$ potraktujemy jak podprzestrze艅, to $A\cap R^+$ i $A\cap R^-$ s膮 domkni臋to-otwarte w $A$, roz艂膮czne i sumuj膮 si臋 do $A$. f) jako niesp贸jny nie jest wypuk艂y g) $int A=A$, bo $A$ otwarty. h) domkni臋cie $clA=\{x\in R: sinx \ge \frac{1}{2}\}$ i) brzeg $bdA=\{x\in R: sinx = \frac{1}{2}\}$ |
tumor post贸w: 8070 | 2014-02-22 13:04:24 2. b) jest domkni臋ty jako przeciwobraz zbioru domkni臋tego $(-\infty, 0]$ (wielomiany s膮 ci膮g艂e). a) zatem ze sp贸jno艣ci $R^n$ mamy, 偶e nie jest otwarty c) $(-\infty,-2)\subset A$, zatem $A$ nie jest ograniczony d) jako nieograniczony nie jest zwarty |
tumor post贸w: 8070 | 2014-02-22 13:16:54 f) jest wypuk艂y, bo funkcja ma tylko jedno miejsce zerowe $x_0$ i $A=(-\infty, x_0]$ e) zatem jest sp贸jny g) $int A=A \backslash \{x_0\}$ h) $clA=A$ i) $bdA=\{x_0\}$ |
tumor post贸w: 8070 | 2014-02-22 13:24:55 3. a) otwarty jako przeciwobraz otwartego zbioru $(\frac{1}{2},\infty)$ poprzez funkcj臋 $sin(\pi_1(x,y))$, gdzie $\pi_1 $ jest rzutowaniem na pierwsz膮 wsp贸艂rz臋dn膮. Rzutowania s膮 ci膮g艂e, z艂o偶enia funkcji ci膮g艂ych s膮 ci膮g艂e. b) zatem nie jest domkni臋ty c) nie jest ograniczony d) wi臋c nie jest zwarty reszta przy okazji, teraz mam katar |
tumor post贸w: 8070 | 2014-02-23 08:08:49 e) sp贸jny nie jest, bo zn贸w mo偶na dzieli膰 A bior膮c iloczyny ze zbiorami otwartymi. Tak jak 1 e) f) zatem nie jest wypuk艂y g) jako otwarty jest r贸wny swojemu wn臋trzu h) domkni臋cie zmieni tylko nier贸wno艣膰 $>$ na $\ge$ w definicji. i) a brzeg to te punkty, o kt贸re domkni臋cie si臋 r贸偶ni z wn臋trzem, czyli te wszystkie dla kt贸rych $sin x_1=\frac{1}{2}$ |
tumor post贸w: 8070 | 2014-02-23 08:21:35 4. b) domkni臋ty jako przeciwobraz zbioru domkni臋tego. a) czyli nie otwarty c) ograniczony, bo zawarty w kuli $K((0,0),3)$ albo w kwadracie $[-1,1]^2$ d) domkni臋ty i ograniczony, czyli zwarty |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj