Topologia, zadanie nr 2179
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
meg1991 post贸w: 2 |  2014-02-24 11:33:01Witam serdecznie, Bardzo prosi艂abym o pomoc w rozwi膮zaniu zadania. Mamy zbi贸r T={1+2^(-k)i: keN} Jak widzimy jest to zbi贸r w zbiorze liczb zespolonych. Teraz mam zbada膰, czy zbi贸r jest otwarty czy domkni臋ty. Pocz膮tkowo zauwa偶y艂am, 偶e z=x+iy, wi臋c naszym x b臋dzie 1, a y=2^(-k). Umie艣ci艂am kolejne wyrazy na osi Re(Im) i widzimy, 偶e b臋dzie to zbi贸r, kt贸ry b臋dzie d膮偶y艂 do zera, czyli kolejno b臋dzie przyjmowa艂 warto艣ci: (1,1),(1,1/2),(1,1/4),(1,1/8)... itd. Teraz korzystaj膮c z def. zbioru otwartego, mo偶emy sobie wybra膰 punkty na osi, kt贸re nie spe艂niaj膮 tego warunku, wi臋c nie jest to zbi贸r otwarty. Teraz chc膮c sprawdzi膰, czy jest to zbi贸r domkni臋ty s艂ysza艂am, 偶e musz臋 sprawdzi膰 definicj臋 punkt贸w skupienia, bo z twierdzenia wynika, i偶 zbi贸r domkni臋ty musi zawiera膰 wszystkie swoje punkty skupienia, dzi臋ki czemu dochodzimy do tego, 偶e zbi贸r nie jest domkni臋ty... Czy mog艂by kto艣 mi powiedzie膰 czy dobrze my艣l臋, je艣li tak to wyt艂maczy膰 mi jak wygl膮daj膮 te punkty skupienia, jak mam to sprawdzi膰? A mo偶e istnieje jaka艣 inna forma sprawdzenia czy zbi贸r jest otwarty czy domkni臋ty?? Bardzo prosz臋 o pomoc. |
tumor post贸w: 8070 | 2014-02-24 14:53:48 Je艣li chodzi do domkni臋to艣膰, tak. Mo偶na zauwa偶y膰, 偶e punkt (1;0) jest punktem skupienia, bowiem jest np granic膮 ci膮gu $(1;\frac{1}{2})(1;\frac{1}{4}),(1;\frac{1}{8})...$ Natomiast $(1;0) \notin T$, czyli $T$ nie jest domkni臋ty. ---- Je艣li chodzi o otwarto艣膰, to po pierwsze piszesz mocno niematematycznym j臋zykiem (\"zbi贸r d膮偶y do zera\"), po drugie nie rozumiem, co chcesz przekaza膰. :) Mo偶na pokaza膰, 偶e $T`=X \backslash T$ nie jest domkni臋ty, a pokazujemy to jak wy偶ej (np dla ci膮gu $(\frac{n-1}{n},\frac{1}{2})$ dostajemy co trzeba). Z tego wynika, 偶e $T$ nie jest otwarty. Mo偶na skorzysta膰 z metryki na zbiorze liczb zespolonych wzorem $d(z_1,z_2)=|z_1-z_2|$, albo szerzej - z dowolnej bazy topologii (naturalnej) na zbiorze liczb zespolonych. W贸wczas pokazujemy, 偶e dla $x\in T$ ka偶de otoczenie punktu $x$ nie jest podzbiorem zbioru $T$. Natomiast w definicji zbioru otwartego $U$ mamy warunek, 偶e dla $x\in U$ istnieje tak偶e otoczenie (kula w metryce, zbi贸r bazowy) $x$ b臋d膮ce podzbiorem $U$. ---- Sprawdzanie domkni臋to艣ci/otwarto艣ci mo偶e wygl膮da膰 r贸偶nie. Wszystko zale偶y od przyj臋tych na wyk艂adzie definicji (nie poda艂a艣), a tak偶e udowodnionych warunk贸w r贸wnowa偶nych definicji. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj