Analiza matematyczna, zadanie nr 2181
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
meg1991 post贸w: 2 |  2014-02-24 14:13:43Witam serdecznie, Bardzo prosi艂abym o pomoc w rozwi膮zaniu zadania. Mamy zbi贸r T={1+2^(-k)i: keN} Jak widzimy jest to zbi贸r w zbiorze liczb zespolonych. Teraz mam zbada膰, czy zbi贸r jest otwarty czy domkni臋ty. Pocz膮tkowo zauwa偶y艂am, 偶e z=x+iy, wi臋c naszym x b臋dzie 1, a y=2^(-k). Umie艣ci艂am kolejne wyrazy na osi Re(Im) i widzimy, 偶e b臋dzie to zbi贸r, kt贸ry b臋dzie d膮偶y艂 do zera, czyli kolejno b臋dzie przyjmowa艂 warto艣ci: (1,1),(1,1/2),(1,1/4),(1,1/8)... itd. Teraz korzystaj膮c z def. zbioru otwartego, mo偶emy sobie wybra膰 punkty na osi, kt贸re nie spe艂niaj膮 tego warunku, wi臋c nie jest to zbi贸r otwarty. Teraz chc膮c sprawdzi膰, czy jest to zbi贸r domkni臋ty s艂ysza艂am, 偶e musz臋 sprawdzi膰 definicj臋 punkt贸w skupienia, bo z twierdzenia wynika, i偶 zbi贸r domkni臋ty musi zawiera膰 wszystkie swoje punkty skupienia, dzi臋ki czemu dochodzimy do tego, 偶e zbi贸r nie jest domkni臋ty... Czy mog艂by kto艣 mi powiedzie膰 czy dobrze my艣l臋, je艣li tak to wyt艂maczy膰 mi jak wygl膮daj膮 te punkty skupienia, jak mam to sprawdzi膰? A mo偶e istnieje jaka艣 inna forma sprawdzenia czy zbi贸r jest otwarty czy domkni臋ty?? Bardzo prosz臋 o pomoc. |
tumor post贸w: 8070 | 2014-08-17 21:46:12 Dobrze rozumujesz. Na pocz膮tku powinni艣my jeszcze powiedzie膰, jak膮 topologi臋 czy jak膮 metryk臋 rozwa偶amy, bo zale偶nie od tego odpowiedzi b臋d膮 r贸偶ne. Je艣li jednak nic nie m贸wimy, to prawdopodobnie chodzi o topologi臋 naturaln膮, czyli w zasadzie metryk臋 euklidesow膮 (a w terminach liczb zespolonych: modu艂 r贸偶nicy liczb). W topologii naturalnej $R^n$ zbiory niepuste przeliczalne nie s膮 nigdy otwarte, bo zbi贸r otwarty niepusty jest z pewno艣ci膮 nieprzeliczalny (bo zawiera odcinek, bo zawiera kul臋 otwart膮, etc). $C$ traktujemy tu analogicznie do $R^2$, bo algebraiczne w艂asno艣ci liczb zespolonych s膮 tu nieistotne. Inaczej mo偶na rozumowa膰 tak: je艣li $A$ jest otwarty, to $X\backslash A$ jest domkni臋ty. Skoro wiesz, jak sprawdza膰 domkni臋to艣膰, to mo偶na rozumowa膰, 偶e $X\backslash T$ nie jest domkni臋ty, bo nie zawiera granicy ci膮gu $x_n=1+\frac{1}{n}+2i\to 1+2i\in T$ Zatem $T$ nie jest otwarty. Domkni臋to艣膰 sprawdzasz poprawnie, granica ci膮gu (trzeba uzasadni膰 zale偶nie od metryki, 偶e $(1,0)$ jest granic膮 tego ci膮gu) element贸w z $T$ nie nale偶y do $T$, czyli punkt skupienia nie nale偶y do zbioru, wi臋c zbi贸r nie jest domkni臋ty. Mo偶na tak偶e sprawdza膰, czy zbi贸r $X\backslash T$ jest otwarty. Zauwa偶amy, 偶e $(1,0) \in X\backslash T$, ale ka偶de otoczenie $U$ tego punktu ma z $T$ niepusty przekr贸j, czyli 偶adne otoczenie punktu nie zawiera si臋 w $X\backslash T$. Zatem $X\backslash T$ nie jest otwarty, zatem $T$ nie jest domkni臋ty. Jest du偶o wi臋cej sposob贸w sprawdzania domkni臋to艣ci/otwarto艣ci, ale opieraj膮 si臋 one na wielu dowodzonych zazwyczaj w艂asno艣ciach zbior贸w. Dla przyk艂adu domkni臋ty i ograniczony podzbi贸r p艂aszczyzny by艂by zwarty, T jest ograniczony i mo偶na pokaza膰, 偶e nie jest zwarty, w贸wczas nie mo偶e by膰 domkni臋ty. Jednak偶e nie wiem, co ju偶 dowodzono, o jakich w艂asno艣ciach w og贸le m贸wiono na wyk艂adzie. Nie zgadn臋. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj