Analiza matematyczna, zadanie nr 2184

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
nusiaterka postów: 20	2014-02-25 17:40:53 Mam za zadanie:zbadaj a)otwartość b)domkniętość c)ograniczoność d)zwartość e) spójność f)wypukłość następujących zbioru. W każdym przypadku określ g)wnętrze h)domknięcie oraz brzeg. 1.$A: 0 \le x+y+z \le 1$w $R^3$ 2.$A: 0 \le x+y+z \le 1, x^2+y^2 \le 1$w $R^3$

tumor postów: 8070	2014-03-03 07:30:25 1. b) niech $f(x,y,z)=x+y+z$ będzie funkcją z $R^3 $ w $R$. Widzimy, że to ciągły wielomian, $A$ jest przeciwobrazem przedziału domkniętego $[0;1]$, zatem jest zbiorem domkniętym. a) możemy wziąć punkt $(0,0,0)\in A$, natomiast widzimy, że punkt $(0-\frac{1}{n},0-\frac{1}{n},0-\frac{1}{n})\notin A$, czyli $A$ nie jest otwarty. c) prosta o równaniu $(t,-t,0) t\in R$ jest podzbiorem $A$, prosta jest nieograniczona, czyli $A$ także Skądinąd $x+y+z=0$ i $x+y+z=1$ to płaszczyzny d) nie jest ograniczony, czyli nie jest zwarty

tumor postów: 8070	2014-03-03 07:35:47 f) jest to zbiór wypukły Jeśli $P=(p,q,r)$ i $Q=(x,y,z)$, $P,Q\in A$, to także $aP+(1-a)Q \in A$ dla $a\in (0,1)$, bowiem $0\le a(p+q+r) \le a$ $0\le (1-a)(x+y+z)\le (1-a)$ $0\le ap+(1-a)x+aq+(1-a)y+ar+(1-a)z \le a+1-a=1$ e) zatem jest spójny h) $A=clA$ i) brzeg to te dwie płaszczyzny, które wspomniałem w punkcie c) g) wnętrze $A$ to $A$ bez brzegu, czyli zbiór wyznaczony przez nierówność $0<x+y+z<1$

tumor postów: 8070	2014-03-03 07:41:15 2. Zbiór $x^2+y^2 \le 1$ wyznacza w $R^3$ walec nieskończony. b) walec ten jest domknięty, $A$ to przekrój dwóch zbiorów domkniętych, jest domknięty a) czyli nie jest otwarty, bo $A$ jest niepusty (np $(0,0,0)\in A$ ) ale i różny od $X$ c) zauważmy, że z nierówności $x^2+y^2 \le 1$ wynika, że $\|x\|\le 1$ oraz $\|y\|\le 1$. Stąd $\|x\|+\|y\| \le 2$ Zatem $z\in [-2,3]$ czyli $A$ ograniczony d) jako ograniczony domknięty jest też zwarty

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj