Analiza matematyczna, zadanie nr 2199
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
agusiaczarna22 post贸w: 106 |  2014-03-04 16:12:38Mam sprawdzi膰 ci膮g艂o艣膰 nast臋puj膮cej funkcji okre艣lonych w swoich naturalnych dziedzinach: a)$f(x,y,z)=x^3-z^3$ Bardzo prosz臋 o pomoc. Czy funkcja spe艂nia warunek Lipschitza? |
tumor post贸w: 8070 | 2014-03-04 19:37:01 Ale jak sprawdzi膰? :) Og贸lnie metod膮 sprytn膮 jest pokazanie, 偶e ci膮g艂e s膮 rzutowania, ci膮g艂e s膮 iloczyny funkcji ci膮g艂ych i ci膮g艂e s膮 sumy/r贸偶nice funkcji ci膮g艂ych. W rezultacie otrzymujemy, 偶e ka偶dy wielomian jest ci膮g艂y i si臋 nie babrzemy z ka偶dym wielomianem z osobna. Je艣li si臋 chcemy babra膰, to u偶ywamy definicji ci膮g艂o艣ci albo kt贸rego艣 warunku r贸wnowa偶nego. Ja i tak nie wiem/nie pami臋tam, jakiej u偶ywasz definicji :P Mo偶emy zatem policzy膰 granic臋 $\lim_{(a,b) \to (0,0)}(x+a)^3-(z+b)^3=x^3-z^2+a(3x^2+a3x+a^2)-b(3z^2+b3z+b^2)=x^3-z^3$ Mo偶emy te偶 ustali膰 $x_0,y_0,z_0$, wzi膮膰 epsilonowe otoczenie punktu $f(x_0,y_0,z_0)$ i pokaza膰, 偶e dla $\delta=\frac{\epsilon}{666*max(x^2,z^2,1)}$ i dla $|x-x_0|<\delta$ $|y-y_0|<\delta$ $|z-z_0|<\delta$ mamy $|f(x,y,z)-f(x_0,y_0,z_0)|<\epsilon$ |
tumor post贸w: 8070 | 2014-03-04 19:44:54 Funkcja nie spe艂nia warunku Lipschitza. We藕my bowiem r贸偶ne $x_1, x_2$ i ci膮gi $x_1+n, x_2+n$ Warto艣膰 wyra偶enia $|(x_1+n,0,0)-(x_2+n,0,0)|=|(x_1+n)-(x_2+n)|=|x_1-x_2|$ jest sta艂a i dodatnia, jednak偶e $|f(x_1+n,0,0)-f(x_2+n,0,0)|$ ro艣nie do niesko艅czono艣ci. |
agusiaczarna22 post贸w: 106 | 2014-03-04 20:13:59 a mo偶na to pokaza膰 z definicji ci膮g艂o艣ci z topologii?? a jak to np. na tych rzutowaniach mo偶na pokaza膰, bo mia艂am co o projekcji, rzutowaniu i homeomorfizmie? |
agusiaczarna22 post贸w: 106 | 2014-03-04 20:50:49 a takie s膮 moje r贸wnowa偶ne warunki: 1.Dla ka偶dego otoczenia $U$ punktu $f(a)$ istnieje otoczenie $V$ punktu $a$ takie, 偶e $f(V)=U$. 2.$\forall_{\varepsilon>0}\exists_{\delta>0} f(K_{\delta}(a))\subset K_{\varepsilon}f(a)$ 3.$\forall_{\varepsilon>0}\exists_{\delta>0}\forall_{x\in X}d_X(x,a)<\delta\Rightarrow d_Y(f(x),f(a))<\varepsilon$ 4.Dla ka偶dego ci膮gu $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ element贸w $X$ mamy $x_n\to a\Rightarrow f(x_n)\to f(a)$. |
tumor post贸w: 8070 | 2014-03-04 22:41:35 To ju偶 autora zadania pytaj, czego mo偶esz u偶y膰 w celu rozwi膮zania. Moim zdaniem na wyk艂adzie pojawi艂 si臋 dow贸d, 偶e wielomiany s膮 ci膮g艂e, co spraw臋 za艂atwia. Natomiast je艣li macie 膰wiczy膰 jaki艣 konkretny warunek, to powiedz, kt贸ry. :) U偶y艂em warunku trzeciego. Wprawdzie u偶y艂em innej metryki ni偶 euklidesowa, ale r贸wnowa偶nej z euklidesow膮, wi臋c dow贸d 艂atwo przerobi膰. A wcze艣niej u偶y艂em warunku czwartego. --------- Rzutowanie to w naszym przypadku funkcja $\pi_i:R^n \rightarrow R$, dana wzorem $\pi_i(x_1,_2,...,x_i,...,x_n)=x_i$ Oczywi艣cie je艣li $(x_1,_2,...,x_i,...,x_n)\rightarrow (a_1,...,a_n)$ to $\pi_i(x_1,_2,...,x_i,...,x_n)=x_i\rightarrow a_i = \pi_i(a_1,...,a_n)$ Na wyk艂adzie by艂y z ca艂膮 pewno艣ci膮 dowody, 偶e suma/r贸偶nica/iloczyn/z艂o偶enie funkcji ci膮g艂ych jest funkcj膮 ci膮g艂膮. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj