Algebra, zadanie nr 2213
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
polkiuyt post贸w: 34 |  2014-03-10 18:16:02Wyka偶, 偶e pier艣cie艅 R jest cia艂em wtedy i tylko wtedy, gdy R$\neq 0$ oraz ka偶dy idea艂 w R jest albo zerowy albo r贸wny R. |
tumor post贸w: 8070 | 2014-03-28 10:35:42 Cia艂o ma co najmniej dwa elementy: $0,1$. Je艣li teraz $I$ jest idea艂em w ciele i $0 \neq a\in I$, to istnieje w ciele element $a^{-1}$, z definicji $aa^{-1}\in I$, czyli $1 \in I$, a z tego wprost wynika, 偶e $I=R$. ---- W drug膮 stron臋, je艣li pier艣cie艅 $R$ ma tylko dwa idea艂y, $\{0\}$ i $R$, to $\{0\}$ jest idea艂em maksymalnym. W贸wczas wszystkie elementy $R$ s膮 odwracalne. W przeciwnym razie oznaczmy element nieodwracalny przez $a$. W贸wczas niech I b臋dzie idea艂em generowanym przez $a$. $I$ jest w艂a艣ciwy, bowiem $<a>=\{xa: x\in P\}$, gdyby za艣 $1=ax$ dla pewnego $x$, to $x=a^{-1}$. Uzyskali艣my sprzeczno艣膰, czyli wszystkie elementy s膮 odwracalne. Przy tym zak艂ada艂em tu, 偶e \"pier艣cie艅\" oznacza pier艣cie艅 przemienny z jedynk膮. ----- Ca艂e zadanie mo偶na rozwi膮za膰 od razu, je艣li dowiedziono na wyk艂adzie twierdzenia, 偶e $I$ jest maksymalny wtw $R/I$ jest cia艂em. Oczywisty jest izomorfizm $R/I \approx R$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj