Analiza matematyczna, zadanie nr 2244
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
nusiaterka post贸w: 20 |  2014-03-21 17:52:44Mam takie zadanie: korzystaj膮c z definicji granicy uzasadni膰 podane r贸wno艣ci: a)$ \lim_{ \left( x,y\right) \to \left( 1,2\right) } \frac{2x-y}{x^2+y^2}=0 $ b)$ \lim_{ \left( x,y\right) \to \left( -3,4\right) } \sqrt{x^2+y^2}=5 $ |
abcdefgh post贸w: 1255 | 2014-03-21 19:06:59 a)we藕my ci膮g $(xn,yn)=(\frac{1}{n}+1,2)$ $\frac{2(\frac{1}{n}+1)-2}{(\frac{1}{n}+1)^2+4}=\frac{\frac{2}{n}}{\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}+1+4}=\frac{\frac{2}{n}}{5+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}\rightarrow_{n \to \infty}0$ |
abcdefgh post贸w: 1255 | 2014-03-21 19:11:34 b) we藕my ci膮g (xn,yn)=$(\frac{1}{n}-3,4)$ $\sqrt{(\frac{1}{n}-3)^2+4^2}=\sqrt{\frac{1}{n^2}-\frac{3}{n}+9+16}=\sqrt{\frac{1}{n^2}-\frac{3}{n}+25} \rightarrow_{n \to \infty}\sqrt{25}=5$ |
tumor post贸w: 8070 | 2014-03-22 09:36:21 a) chcemy dla ka偶dego $\epsilon>0$ mie膰 $0-\epsilon \le \frac{2x-y}{x^2+y^2} \le 0+\epsilon$ Je艣li ($x_n,y_n) \rightarrow (1,2)$, to znaczy, 偶e dla $\frac{1}{2}>\delta>0$ i dla $n>n_0$ mamy $1-\delta \le x_n \le 1+\delta$ $2-\delta \le y_n \le 2+\delta$ (Poni偶ej omijam indeksy, bo mi si臋 ich nie chce pisa膰, ale wsz臋dzie jest $x_n, y_n$) St膮d $-3\delta \le (2x-y)\le 3\delta$ oraz $5-6\delta+2\delta^2\le x^2+y^2 \le 5+6\delta+2\delta^2$ Zatem $\frac{-3\delta}{5-6\delta+2\delta^2} \le \frac{2x-y}{x^2+y^2} \le \frac{3\delta}{5-6\delta+2\delta^2}$ czyli $\frac{-1}{\frac{5}{3\delta}-2+\frac{2}{3}\delta} \le \frac{2x-y}{x^2+y^2} \le \frac{1}{\frac{5}{3\delta}-2+\frac{2}{3}\delta}$ Pozostaje pokaza膰, 偶e dla dowolnego $\epsilon>0$ istnieje $\delta \in (0;\frac{1}{2})$ taka, 偶e $\frac{1}{\frac{5}{3\delta}-2+\frac{2}{3}\delta} \le \epsilon$ czyli $\frac{1}{\epsilon} \le \frac{5}{3\delta}-2+\frac{2}{3}\delta$ co do艣膰 oczywiste, bo przy dodatniej $\delta$ malej膮cej do $0$ prawa strona ro艣nie do niesko艅czono艣ci. ---- Uwagi Ca艂a metoda polega na pokazaniu, 偶e dla KA呕DEGO ci膮gu $x_n,y_n$ zbie偶nego do $(1;2)$ dostaniemy $f(x_n,y_n) \rightarrow 0$. Jest ABSOLUTNIE niewystarczaj膮ce pokaza膰, 偶e dzieje si臋 to dla jakiego艣 jednego wybranego ci膮gu, jak zrobi艂a abcdefgh. Nier贸wno艣膰 $0<\delta<\frac{1}{2}$ uzasadniona jest uproszczeniem liczenia (偶eby mi si臋 nie wyzerowa艂 mianownik, 偶eby pozosta艂 dodatni). W definicji Cauchy\'ego granicy ci膮gu wystarcza istnienie $\delta>0$, wi臋c je艣li poka偶臋, 偶e istnieje taka $\delta$ przy okazji mniejsza od $\frac{1}{2}$ to si臋 nic z艂ego nie dzieje. Gdyby w zadaniu nie trzeba by艂o korzysta膰 z definicji granicy funkcji, mogliby艣my skorzysta膰 z ci膮g艂o艣ci. Nie trzeba by by艂o bra膰 ci膮gu $(1+\frac{1}{n},2)$ jak zrobi艂a abcdefgh, wystarczy艂by ci膮g sta艂y $(1;2)$, bowiem mianownik si臋 dla tych warto艣ci nie zeruje, funkcja jest okre艣lona, granica istnieje i jest r贸wna warto艣ci funkcji w punkcie i po k艂opocie. Zatem wersja abcdefgh jest zbyt skomplikowana, je艣li ignorujemy polecenie, a niewystarczaj膮ca, je艣li robimy zadanie tak, jak si臋 od nas wymaga. ;) Pozdro. :) |
tumor post贸w: 8070 | 2014-03-22 10:24:03 No i jeszcze jedna uwaga. Na dobr膮 spraw臋 korzystam z uproszczonej wersji granicy dla przestrzeni metrycznych i z r贸wnowa偶no艣ci metryk euklidesowej i maksimum. ;) W skr贸cie $(x_n,y_n) \rightarrow (1;2) \iff \sqrt{(x_n-1)^2+(y_n-2)^2} \rightarrow 0 \iff max(x_n-1,y_n-2) \rightarrow 0$ ----- b) Podobnie jak wy偶ej $(x_n,y_n)\rightarrow (-3;4) $ oznacza, 偶e dla $1>\delta>0$ i $n>n_0$ mamy $-3-\delta \le x_n \le -3+\delta$ $4-\delta \le y_n \le 4+\delta$ (pomijam indeksy przy $x,y$, 偶eby mi si臋 szybciej pisa艂o) Zatem $\sqrt{25-14\delta+2\delta^2} \le \sqrt{x^2+y^2} \le \sqrt{25+14\delta+2\delta^2}$ Zauwa偶my, 偶e dla ustalonego $1>\epsilon>0$ i dla $\delta=\frac{\epsilon}{2}$ mamy $5-\epsilon = \sqrt{25-10\epsilon+\epsilon^2} \le \sqrt{25-14\delta+2\delta^2} $ oraz $\sqrt{25+14\delta+2\delta^2} \le \sqrt{25+10\epsilon+\epsilon^2} = 5+\epsilon$ Uwaga przyj臋cie $\epsilon<1$ jest zn贸w niekonieczne, ale wygodne. W granicach chodzi wszak o $\epsilon$ i $\delta$ ma艂e, a nie ogromne. Je艣li przyj臋ta $\delta$ zadzia艂a dla $\epsilon$ sztucznie zmniejszonego, to zadzia艂a i dla wi臋kszego. W贸wczas dla 艣cis艂o艣ci si臋 pisze, 偶e np dla $\epsilon \ge 1$ przyjmujemy $\delta=\frac{1}{2}$ i nale偶y pokaza膰 tez臋 przy takich danych, co z regu艂y (jak w tym przyk艂adzie) jest 艂atwiejsze. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj