Probabilistyka, zadanie nr 226
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
mat12 post贸w: 221 |  2011-11-23 09:12:14Wybieramy losowo trzy odcinki o d艂ugo艣ci nie wi臋kszej od a. Jakie jest prawdopodobie艅stwo,偶e da si臋 z tych odcink贸w u艂o偶y膰 tr贸jk膮t? Odpowied藕 to $\frac{1}{2}$. Prosz臋 o pomoc.z g贸ry dzi臋kuj臋 |
tumor post贸w: 8070 | 2012-09-21 11:12:05 W uk艂adzie wsp贸艂rz臋dnych narysujmy sobie sze艣cian $0\le x \le a$ $0\le y \le a$ $0\le z \le a$ (Przy tym mo偶na przyj膮膰, je艣li komu艣 wygodniej, $a=1$, p贸藕niejsze przeskalowanie nie zmieni wyniku) Ten sze艣cian obrazuje mo偶liwe wyniki, trzy odcinki to trzy wsp贸艂rz臋dne punktu. Natomiast interesuj膮 nas punkty, kt贸rych wsp贸艂rz臋dne spe艂niaj膮 warunek tr贸jk膮ta: $x<y+z$ $y<x+z$ $z<x+y$ Nietrudno na rysunku (je艣li jest du偶y, staranny i czytelny :P) zaznaczy膰 p艂aszczyzny $Sol(x=y+z)=lin([1,1,0],[1,0,1])$ $Sol(y=x+z)=lin([1,1,0],[0,1,1])$ $Sol(z=x+y)=lin([0,1,1],[1,0,1])$ Z wyj艣ciowego sze艣cianu o obj臋to艣ci (czyli mierze Lebesgue\'a!) $a^3$ p艂aszczyzny te odcinaj膮 nam ostros艂upy, kt贸re nie spe艂niaj膮 warunku tr贸jk膮ta (brzeg nie ma znaczenia, bo jego miara jest $0$), a ka偶dy z tych ostros艂up贸w ma obj臋to艣膰 $\frac{1}{3}*\frac{1}{2}*a^2*a=\frac{1}{6}a^3$. Obj臋to艣膰 bry艂y, kt贸rej punkty wewn臋trzne spe艂niaj膮 warunek tr贸jk膮ta to zatem $\frac{1}{2}a^3$. Prawdopodobie艅stwo geometryczne wynosi $\frac{1}{2}$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj