logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Probabilistyka, zadanie nr 226

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

mat12
postów: 221
2011-11-23 09:12:14

Wybieramy losowo trzy odcinki o długości nie większej od a.
Jakie jest prawdopodobieństwo,że da się z tych odcinków ułożyć trójkąt?

Odpowiedź to $\frac{1}{2}$.

Proszę o pomoc.z góry dziękuję


tumor
postów: 8070
2012-09-21 11:12:05

W układzie współrzędnych narysujmy sobie sześcian
$0\le x \le a$
$0\le y \le a$
$0\le z \le a$
(Przy tym można przyjąć, jeśli komuś wygodniej, $a=1$, późniejsze przeskalowanie nie zmieni wyniku)

Ten sześcian obrazuje możliwe wyniki, trzy odcinki to trzy współrzędne punktu.
Natomiast interesują nas punkty, których współrzędne spełniają warunek trójkąta:
$x<y+z$
$y<x+z$
$z<x+y$

Nietrudno na rysunku (jeśli jest duży, staranny i czytelny :P) zaznaczyć płaszczyzny
$Sol(x=y+z)=lin([1,1,0],[1,0,1])$
$Sol(y=x+z)=lin([1,1,0],[0,1,1])$
$Sol(z=x+y)=lin([0,1,1],[1,0,1])$

Z wyjściowego sześcianu o objętości (czyli mierze Lebesgue'a!) $a^3$ płaszczyzny te odcinają nam ostrosłupy, które nie spełniają warunku trójkąta (brzeg nie ma znaczenia, bo jego miara jest $0$), a każdy z tych ostrosłupów ma objętość $\frac{1}{3}*\frac{1}{2}*a^2*a=\frac{1}{6}a^3$. Objętość bryły, której punkty wewnętrzne spełniają warunek trójkąta to zatem $\frac{1}{2}a^3$.

Prawdopodobieństwo geometryczne wynosi $\frac{1}{2}$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 53 drukuj