Probabilistyka, zadanie nr 226

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
mat12 postów: 221	2011-11-23 09:12:14 Wybieramy losowo trzy odcinki o długości nie większej od a. Jakie jest prawdopodobieństwo,że da się z tych odcinków ułożyć trójkąt? Odpowiedź to $\frac{1}{2}$. Proszę o pomoc.z góry dziękuję

tumor postów: 8070	2012-09-21 11:12:05 W układzie współrzędnych narysujmy sobie sześcian $0\le x \le a$ $0\le y \le a$ $0\le z \le a$ (Przy tym można przyjąć, jeśli komuś wygodniej, $a=1$, późniejsze przeskalowanie nie zmieni wyniku) Ten sześcian obrazuje możliwe wyniki, trzy odcinki to trzy współrzędne punktu. Natomiast interesują nas punkty, których współrzędne spełniają warunek trójkąta: $x<y+z$ $y<x+z$ $z<x+y$ Nietrudno na rysunku (jeśli jest duży, staranny i czytelny :P) zaznaczyć płaszczyzny $Sol(x=y+z)=lin([1,1,0],[1,0,1])$ $Sol(y=x+z)=lin([1,1,0],[0,1,1])$ $Sol(z=x+y)=lin([0,1,1],[1,0,1])$ Z wyjściowego sześcianu o objętości (czyli mierze Lebesgue'a!) $a^3$ płaszczyzny te odcinają nam ostrosłupy, które nie spełniają warunku trójkąta (brzeg nie ma znaczenia, bo jego miara jest $0$), a każdy z tych ostrosłupów ma objętość $\frac{1}{3}\frac{1}{2}a^2*a=\frac{1}{6}a^3$. Objętość bryły, której punkty wewnętrzne spełniają warunek trójkąta to zatem $\frac{1}{2}a^3$. Prawdopodobieństwo geometryczne wynosi $\frac{1}{2}$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj