Analiza matematyczna, zadanie nr 2268

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
agusiaczarna22 postów: 106	2014-04-01 16:38:32 Korzystając z twierdzenia Weierstrassa o osiąganiu kresów uzasadnić, że poniższe zagadnienia geometryczne na ekstrema mają rozwiązania: a)wśród trójkątów opisanych na kole o promieniu R znaleźć ten,który ma najmniejsze pole, b) w przestrzeni istnieje punkt taki, że suma jego odległości od danych punktów A,B,C,D jest najmniejsza.Bardzo proszę o pomoc.

tumor postów: 8070	2016-06-26 08:35:40 Twierdzenie mówi, że funkcja ciągła na zbiorze zwartym (w $R^n$: domkniętym i ograniczonym) osiąga kresy. Wobec tego należy opisać w jakiś sposób zagadnienie tak, by dało się wyznaczyć zbiór zwarty, w którym kres dolny będzie zarazem kresem dolnym dla całego zagadnienia. b) Weźmy odległość r=AB+AC+AD+1 i zakreślmy koło o środku A i promieniu r. Szukany punkt P ma sumę odległości od A,B,C,D mniejszą od r (bo może być P=A), natomiast na zewnątrz okręgu punkty mają sumę odległości na pewno większą od r, czyli infimum dla całego problemu znajduje się w kole. Oczywiście koło to zbiór domknięty i ograniczony. a) weźmy drugie koło o odpowiednio większym promieniu i (dla wygody) o tym samym środku. Potrzebujemy, żeby każdy trójkąt opisany na mniejszym kole, którego choć jeden wierzchołek jest poza większym kołem, miał większe pole niż PEWIEN trójkąt opisany na mniejszym kole, którego wszystkie trzy wierzchołki są w większym kole. Możemy z większym kołem zaszaleć i dać mu np. milion razy większy promień niż dla koła mniejszego, wystarczy nam bowiem zbiór zwarty, a że nie będzie wybrany optymalnie, to wybaczą. --- No i ciągłość. Należy wiedzieć i umieć pokazać, że odległości na płaszczyźnie są funkcjami ciągłymi, zatem ich mnożenia czy dodawania czy inne złożenia z funkcjami ciągłymi będą ciągłe.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj