Analiza matematyczna, zadanie nr 2306
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
felicia post贸w: 1 |  2014-04-23 17:49:22Badanie ci膮g艂o艣ci funkcji dw贸ch zmiennych - prosz臋 o pomoc w rozwi膮zaniu zadania i podanie jakiego艣 schematu wed艂ug kt贸rego bada si臋 ci膮g艂o艣膰 funkcji dw贸ch zmiennych - nie znalaz艂am w internecie wyt艂umaczenia, jak to zrobi膰. a) f(x,y)= *$\frac{xy}{x^{2}+y^{2}} dla (x,y)\neq(0,0)$ *0 dla (x,y) = (0,0) b) f(x,y)= *$\frac{sin(x^{2}y)}{x^{2}+y^{2}} dla (x,y)\neq (0,0$) *0 dla (x,y) = (0,0) |
tumor post贸w: 8070 | 2014-04-23 18:59:55 W staro偶ytno艣ci matematycy greccy brali swoj膮 kart臋 biblioteczn膮 i szli do 艣wietnie wyposa偶onej biblioteki uczelnianej, 偶eby po偶yczy膰 Krysickiego i W艂odarskiego (tom 2), bo poza internetem istnia艂y te偶 KSI膭呕KI. Poza tym mog臋 przy okazji pokaza膰, 偶e google te偶 doskonale wyszukuj膮 potrzebne materia艂y i tylko si臋 o艣mieszasz gadaniem o szukaniu w necie zako艅czonym pora偶k膮 :) W szczeg贸lno艣ci mo偶na znale藕膰 podr臋cznik K i W z analizy. Og贸lny schemat zosta艂 te偶 pewnie podany na zaj臋ciach. O ci膮g艂o艣ci funkcji w $(x_0,y_0)$ m贸wimy, gdy $\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)$ Przy tym udowodniono na wyk艂adzie, 偶e suma/r贸偶nica/iloczyn funkcji ci膮g艂ych jest ci膮g艂y, a gdy dzielnik jest funkcj膮 ci膮g艂膮 nie przyjmuj膮c膮 warto艣ci $0$ to tak偶e iloraz funkcji ci膮g艂ych jest ci膮g艂y. a) nie musimy zatem sprawdza膰 ci膮g艂o艣ci funkcji w punktach r贸偶nych od $(0,0)$, bo w贸wczas mamy do czynienia z sum膮/iloczynem/ilorazem funkcji ci膮g艂ych. Musimy tylko sprawdzi膰, czy $\lim_{(x,y) \to (0,0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)=0$ (czyli to miejsce, gdzie \"zmienia si臋 wz贸r funkcji\"). Zauwa偶amy naocznie, gdy tylko sobie wyobrazimy t臋 funkcj臋, 偶e co艣 nie bardzo chce by膰 tam ci膮g艂a. Pozostaje to jako艣 sensownie pokaza膰. (Gdyby艣my nie zauwa偶ali naocznie, mogliby艣my zacz膮膰 to podejrzewa膰, gdy liczenie granicy przez kolejne godziny nie da艂oby 偶adnego efektu). W celu pokazania, 偶e granica nie istnieje bierzemy dwa ci膮gi, dla kt贸rych odpowiednie granice b臋d膮 r贸偶ne (a co za tym idzie nie b臋dzie spe艂niona definicja Heinego granicy funkcji o kt贸rej by艂o na wyk艂adzie). Na przyk艂ad pierwszy $(\frac{1}{n}, \frac{1}{n})$, a drugi $(\frac{1}{n},0)$ Zauwa偶amy, 偶e oba ci膮gi maj膮 granic臋 $(0,0)$. Liczymy $\lim_{n \to \infty}f(\frac{1}{n},\frac{1}{n})= \frac{1}{2}$ $\lim_{n \to \infty}f(\frac{1}{n},0)= 0$ i pokazali艣my co nale偶a艂o |
tumor post贸w: 8070 | 2014-04-23 22:55:21 b) Trzeba si臋 zastanowi膰, czy istnieje granica $\lim_{(x,y) \to (0,0)}\frac{sin(x^2y)}{x^2+y^2}$ Jako 偶e $(x,y) \to (0,0)$, mo偶emy zak艂ada膰, 偶e $|x|<1$ i $|y|<1$. Je艣li $x=0$, to w贸wczas $y\neq 0$, mamy $\frac{sin(x^2y)}{x^2+y^2}=0$. Podobnie je艣li $y=0$. Je艣li natomiast $x\neq 0 \neq y$, to $|\frac{sin(x^2y)}{x^2+y^2}|\le |\frac{sin(x^2y)}{x^2}|= |\frac{sin(x^2y)}{yx^2}|*|y| \le |y|$ Skoro $y \to 0$, to $\frac{sin(x^2y)}{x^2+y^2}\to 0$. ---- Pisz膮c 艣ci艣lej, ustalmy $0< \epsilon<1$. W贸wczas dla $-\epsilon < x <\epsilon$ $-\epsilon < y <\epsilon$ spe艂niony jest warunek $-\epsilon < \frac{sin(x^2y)}{x^2+y^2}<\epsilon$ co oznacza zgodnie z definicj膮 Cauchy\'ego istnienie granicy funkcji $\frac{sin(x^2y)}{x^2+y^2}$ w punkcie $(0,0)$ r贸wnej $0$. Skoro granica ta r贸wna jest warto艣ci funkcji w punkcie $(0,0)$, to funkcja ta jest ci膮g艂a. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj