Topologia, zadanie nr 2389
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
magda_roz post贸w: 8 |  2014-05-27 18:06:11Bardzo prosi艂abym o pomoc w zadaniach (totalnie nie mam poj臋cia jak si臋 za nie zabra膰) b臋d臋 wdzi臋czna za jak膮kolwiek pomoc 1) Niech $f: X \rightarrow Y$ b臋dzie odwzorowaniem ci膮g艂ym (homeomorfizmem, izometri膮). Czy f pozzostanie odwzorowaniem ci膮g艂ym je艣li metryk臋 w X (lub w Y) zast膮pimy metryk膮 r贸wnowa偶n膮? 2)Rozwa偶my przestrze艅 metryczn膮(X,d), gdzie d jest metryk膮 dyskretn膮. Wykaza膰, 偶e: (a) przestrze艅 (X,d) jest przestrzeni膮 zupe艂n膮; (b) przestrze艅 (X,d) jest przestrzeni膮 zwart膮 $\iff$zbi贸r X jest sko艅czony; (c) przestrze艅 (X,d) jest przestrzeni膮 o艣rodkow膮 $\iff$ zbi贸r X jest przeliczalny; (d) przestrze艅 (X,d) jest przestrzeni膮 sp贸jn膮 $\iff$ zbi贸r X jest jednoelementowy. 3) Wykaza膰, 偶e w przestrzeni metrycznej zbi贸r A jest domkni臋ty $\iff$ spe艂niony jest warunek: $\forall_{x_n\subset A}\forall_{x\in X}(x_n \rightarrow x \Rightarrow x\in A$ Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2014-05-27 18:22:08 przez magda_roz |
tumor post贸w: 8070 | 2014-05-27 18:44:09 2) a) nale偶y pokaza膰, 偶e metryka dyskretna jest zupe艂na, to znaczy, 偶e ka偶dy ci膮g Cauchy\'ego w sensie tej metryki jest zbie偶ny. $x_i, i\in \mathbb{N}$ jest ci膮giem Cauchy\'ego, je艣li dla ka偶dego $\epsilon>0$ istnieje $M\in \mathbb{N}$ takie, 偶e dla $m,n>M$ mamy $d(x_n,x_m)<\epsilon$. W szczeg贸lno艣ci mo偶emy przyj膮膰 $\epsilon=1$, w贸wczas istnie膰 musi $M\ in \mathbb{N}$ takie, 偶e dla wszystkich $m,n>M$ mamy $d(x_n,x_m)<1$, ale je艣li $d$ jest metryk膮 dyskretn膮, to $d(x_n,x_m)<1$ oznacza $d(x_n,x_m)=0$, czyli $x_n=x_m$. Ka偶dy ci膮g Cauchy\'ego jest zatem od pewnego miejsca sta艂y, a ci膮gi takie s膮 zawsze zbie偶ne. Pokazali艣my, 偶e w przestrzeni z metryk膮 dyskretn膮 ci膮gi Cauchy\'ego s膮 zbie偶ne. |
tumor post贸w: 8070 | 2014-05-27 18:49:44 2) b) Prawdopododobnie zwarto艣膰 zdefiniowano na wyk艂adzie tak: Przestrze艅 $(X,d)$ nazywamy zwart膮, gdy ka偶de pokrycie (otwarte) przestrzeni $X$ w sensie metryki $d$ zawiera podpokrycie sko艅czone. Je艣li nie by艂a to definicja, to by艂o to podane jako warunek r贸wnowa偶ny zwarto艣ci. A je艣li i tak si臋 nie sta艂o, to prosz臋 mi tu poda膰, jaka by艂a definicja i jakie warunki r贸wnowa偶ne podano. Je艣li $d$ jest metryk膮 dyskretn膮, to zbiory jednopunktowe s膮 otwarte, bowiem $\{x\}=K(x,1)=\{y\in X: d(x,y)<1\}$. Pokrycie $X$ zbiorami jednopunktowymi jest pokryciem otwartym, a jego elementy s膮 parami roz艂膮czne, zatem istnieje podpokrycie sko艅czone wtedy i tylko wtedy, gdy $X$ jest zbiorem sko艅czonym. |
tumor post贸w: 8070 | 2014-05-27 18:55:50 2) c) Przestrze艅 o艣rodkowa to taka, kt贸ra zawiera podzbi贸r g臋sty przeliczalny. Podzbi贸r g臋sty $A\subset X$ to taki, 偶e dla ka偶dego $x\in X$ ka偶de otoczenie (otwarte) punktu $x$ ma niepusty przekr贸j z $A$. Jednak偶e w przestrzeni z metryk膮 dyskretn膮 zbiory jednopunktowe s膮 otwarte, s膮 otoczeniami otwartymi, je艣li $A$ jest g臋sty w $X$, to $A$ musi by膰 r贸wny $X$. Je艣li zatem $A$ jest przeliczalny, to skoro $A=X$, to oczywi艣cie $X$ jest przeliczalny. W drug膮 stron臋, je艣li $X$ jest przeliczalny, to w贸wczas $X$ jest g臋sty w $X$ i przeliczalny, czyli $X$ jest o艣rodkowa. |
magda_roz post贸w: 8 | 2014-05-27 19:00:45 dzi臋kuje bardzo za pomoc :) |
tumor post贸w: 8070 | 2014-05-27 19:00:49 2) d) Przestrze艅 sp贸jna $(X,d)$ to taka, 偶e $X$ nie da si臋 przestawi膰 w postaci sumy roz艂膮cznych zbior贸w otwartych niepustych w sensie metryki $d$. Je艣li $X$ zawiera co najmniej dwa r贸偶ne punkty $x,y$, to $\{x\}, X\backslash \{x\}$ s膮 zbiorami otwartymi w sensie metryki dyskretnej, s膮 niepuste, roz艂膮czne i sumuj膮 si臋 do $X$, czyli $X$ nie jest sp贸jna. Je艣li $X$ zawiera dok艂adnie jeden punkt, $X=\{x\}$, w贸wczas ka偶dy zbi贸r roz艂膮czny z niepustym otwartym podzbiorem $X$ jest zbiorem pustym (bo $X$ jest jedynym niepustym zbiorem otwartym), co oznacza sp贸jno艣膰 $X$. |
magda_roz post贸w: 8 | 2014-05-27 19:03:02 By艂by艣 w stanie rozwi膮za膰 1 lub 3 zadanie? albo przynajmniej jako艣 mnie nakierowa膰 na rozwi膮zanie ich? :) |
tumor post贸w: 8070 | 2014-05-27 19:26:09 3) A jak zdefiniowany by艂 zbi贸r domkni臋ty? Powiedzmy, 偶e definicj膮 by艂o: Zbi贸r $A$ jest domkni臋ty w $X$, je艣li $X\backslash A$ jest otwarty w $X$. Niech $A\subset X$ b臋dzie domkni臋ty, a $x_n, n\in \mathbb{N}$ niech b臋dzie ci膮giem zbie偶nym w $X$, przy tym $x_n\in A$ dla $n \in \mathbb{N}$. W贸wczas $\lim x_n \in A$. (W przeciwnym wypadku $\lim x_n \notin A$, ale ka偶de otoczenie punktu \$lim x_n$ ma niepusty przekr贸j z $A$, czyli $X\backslash A$ nie jest otwarty, sprzeczno艣膰). Niech $A$ b臋dzie zbiorem takim, 偶e ka偶dy ci膮g zbie偶ny w $X$ element贸w z $A$ ma granic臋 w $A$. W贸wczas $X\backslash A$ jest otwarty. (Gdyby istnia艂 $x\in X\backslash A$, kt贸ry nie ma otoczenia roz艂膮cznego z $A$, to wybieraj膮c $x_n\ in A\cap K(x,\frac{1}{n})$ otrzymujemy ci膮g $x_n$ element贸w z $A$ zbie偶ny do $x\notin A$, sprzeczno艣膰.) |
tumor post贸w: 8070 | 2014-05-27 19:53:15 1. Zn贸w mi brakuje definicji. W topologii mo偶na r贸偶nie okre艣li膰 sobie punkt wyj艣cia do dalszych rozwa偶a艅, bardzo wiele w艂asno艣ci okre艣la si臋 za pomoc膮 wielu r贸wnowa偶nych warunk贸w, jeden z nich bior膮c za definicj臋, a r贸wnowa偶no艣膰 z pozosta艂ymi udowadniaj膮c w twierdzeniach. Gdy mam udowadnia膰 w艂asno艣膰, to musz臋 wiedzie膰, jak zosta艂a zdefiniowana i jakie r贸wnowa偶ne uj臋cia ju偶 pokazano. Bez tego staram si臋 trafia膰 w definicje najcz臋艣ciej u偶ywane. -- Funkcja $f:X \to Y$ ci膮g艂a to taka, w kt贸rej przeciwobraz zbioru otwartego jest otwarty (r贸wnowa偶nie: przeciwobraz zbioru domkni臋tego jest domkni臋ty). Funkcja $f:X\to Y$ jest homeomorfizmem, je艣li jest bijekcj膮, a funkcje $f$ i $f^{-1}$ s膮 obie ci膮g艂e. Funkcja $f:X\to Y$ jest izometri膮, je艣li dla ka偶dych $x_1, x_2 \in X$ mamy $d_X(x_1,x_2)=d_Y(f(x_1),f(x_2))$. W zadaniu mamy si臋 zastanowi膰, kt贸re z warunk贸w zostan膮 zachowane, je艣li dana jest ju偶 funkcja $f:X \to Y$, ale podmieniamy metryki na r贸wnowa偶ne. Metryki r贸wnowa偶ne to takie, kt贸re generuj膮 t臋 sam膮 topologi臋, lub inaczej m贸wi膮c: je艣li $U_x$ jest otoczeniem punktu $x$ w pierwszej metryce, to istnieje jego otoczenie $V_x$ w drugiej metryce takie, 偶e $x\in V_x\subset U_x$, oraz odwrotnie, je艣li $V_x$ jest otoczeniem $x$ w drugiej metryce, to istnieje $U_x$ otoczenie $x$ w pierwszej metryce takie, 偶e $x\in U_x\subset V_x$. Zmiana metryki na r贸wnowa偶n膮 nie ma zatem wp艂ywu na ci膮g艂o艣膰, bowiem dok艂adnie te same zbiory b臋d膮 domkni臋te i otwarte w r贸wnowa偶nych metrykach. Oczywiste jest, 偶e metryka nie b臋dzie mie膰 wp艂ywu na r贸偶nowarto艣ciowo艣膰 i surjektywno艣膰, zatem bijekcja pozostanie bijekcj膮. St膮d: niezale偶nie od podmian metryk na r贸wnowa偶ne funkcja ci膮g艂a pozostanie ci膮g艂a, a homeomorfizm pozostanie homeomorfizmem. Inaczej rzecz si臋 ma z izometri膮. Metryki r贸wnowa偶ne nie musz膮 wszak zachowywa膰 odleg艂o艣ci. Je艣li $d_1$ jest metryk膮 taks贸wkow膮, a $d_2$ metryk膮 maksimum, to metryki $d_1$ i $d_2$ s膮 r贸wnowa偶ne (albo to by艂o dowiedzione, albo ewentualnie tego dowiod臋, albo we藕 przyk艂ad analogiczny skonstruowany z metryk, kt贸rych r贸wnowa偶no艣膰 pokazano na wyk艂adzie). Niech $X=\mathbb{R}^2$. Identyczno艣膰 $f:(X,d_1)\to (X,d_1)$, $f(x)=x$, jest oczywist膮 izometri膮. Natomiast przy zmianie: $g:(X,d_1)\to (X,d_2)$, $g(x)=x$ lub $h:(X,d_2)\to (X,d_1)$, $h(x)=x$ tracimy w艂asno艣膰 izometrii, na przyk艂ad $d_1((0,0),(1,1))=2 \neq 1 = d_2((0,0),(1,1)) $. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj