Topologia, zadanie nr 2393
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
magda_roz post贸w: 8 |  2014-05-27 19:17:06Prosz臋 o pomoc w rozwi膮zaniu kt贸regokolwiek z podpunkt贸w :) Niech $(X,d_x), (Y,d_y)$ b臋d膮 przestrzeniami metrycznymi. Rozwa偶my w przestrzeni $X \times Y$ metryk臋 $d((x_1,y_1),(x_2,y_2)):= d_x (x_1,x_2)+d_y(y_1,y_2)$, gdzie $(x_1,y_1),(x_2,y_2)\in X \times Y$ Wykaza膰, 偶e: (a) je偶eli zbi贸r $A\subset X$jest g臋sty (w X) i zbi贸r $B\subset Y$jest g臋sty (w Y) to zbi贸r $A\times B$ jest g臋sty (w $X\times Y$); (b) je偶eli przestrzenie $(X,d_x) i (Y,d_y)$ s膮 o艣rodkowe, to przestrze艅 $(X \times Y,d)$jest o艣rodkowa; (c) je偶eli $((x_n,y_n))_n$ jest ci膮giem Cauchy\'ego w $X \times Y$, to $(x_n)_n$jest ci膮giem Cauchy\'ego w X, a $(y_n)_n$ ci膮giem Cauchy\'ego w Y; (d) je偶eli przestrzenie $(X,d_x), (Y,d_y)$ s膮 zupe艂ne, to przestrze艅 $(X \times Y,d)$ jest zupe艂na; (e) je偶eli przestrzenie $(X,d_x), (Y,d_y)$ s膮 zwarte, to przestrze艅 $(X \times Y,d)$ jest zwarta. Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2014-05-27 19:17:33 przez magda_roz |
tumor post贸w: 8070 | 2014-05-27 20:12:59 A mo偶esz mi wyja艣ni膰, czemu nic nie umiesz zrobi膰, skoro si臋 gdzie艣 tego uczysz? :) a) Przypu艣膰my, 偶e $A\times B$ nie jest g臋sty w $X\times Y$, czyli istnieje $(x,y)\in X\times Y$ posiadaj膮cy otoczenie w sensie metryki $d$ roz艂膮czne ze zbiorem $A\times B$. Mo偶emy napisa膰 $K_d((x,y),\epsilon)\cap A\times B = \emptyset.$ Zatem zachodzi co najmniej jeden z warunk贸w $K_X(x,\frac{\epsilon}{2})\cap A=\emptyset$ $K_Y(y,\frac{\epsilon}{2})\cap B=\emptyset$, a zatem $A$ nie jest g臋sty w $X$ lub $B$ nie jest g臋sty w $Y$, sprzeczno艣膰. |
tumor post贸w: 8070 | 2014-05-27 20:15:31 b)Przestrzenie o艣rodkowe to takie, kt贸re maj膮 podzbi贸r g臋sty przeliczalny (tzw. o艣rodek). Je艣li $A,B$ s膮 o艣rodkami odpowiednio w $X,Y$, to $A\times B$ jest g臋sty w $X\times Y$, ponadto $A\times B$ jest przeliczalny, czyli jest o艣rodkiem w $X\times Y$. |
tumor post贸w: 8070 | 2014-05-27 20:18:52 c) ustalmy $\epsilon>0$ Istnieje $M\in \mathbb{N}$ takie, 偶e dla $n,m>M$ mamy $d_x(x_n,x_m)+d_y(y_n,y_m)<\epsilon$, czyli $d_x(x_n,x_m)<\epsilon$ oraz $d_y(y_n,y_m)<\epsilon$, czyli spe艂niony jest warunek Cauchy\'ego. |
tumor post贸w: 8070 | 2014-05-27 20:24:24 d) Je艣li $(x_n,y_n)$ jest ci膮giem Cauchy\'ego w $X\times Y$, to pokazali艣my ju偶, 偶e $x_n,y_n$ s膮 ci膮gami Cauchy\'ego odpowiednio w $X,Y$. Skoro przestrzenie te s膮 zupe艂ne, to $x_n\to x$, $y_n\to y$ dla pewnych $(x,y)\in X\times Y$. Pozostaje pokaza膰, 偶e $(x_n,y_n)\to (x,y)$ w sensie metryki $d$. Oczywi艣cie je艣li $d_x(x_n,x)\to 0$, $d_y(y_n,y)\to 0$, to tak偶e $d((x_n,y_n),(x,y))\to 0$, czyli $(x,y)$ jest granic膮. |
magda_roz post贸w: 8 | 2014-05-27 20:32:40 Ot贸偶 Topologi臋 mam na studiach a nie bardzo rozumiem sk膮d si臋 tu co艣 bierze :) niestety mam takiego prowadz膮cego, kt贸ry nie bardzo u艂atwia mi i reszcie grupy zrozumienie tego wszystkiego :) Dlatego jest mi niezmiernie mi艂o, 偶e mi pomagasz :) |
tumor post贸w: 8070 | 2014-05-27 20:46:25 e) Najwygodniej b臋dzie tu u偶y膰 w艂asno艣ci m贸wi膮cej, 偶e przestrze艅 metryczna jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy ka偶dy ci膮g w tej przestrzeni zawiera podci膮g zbie偶ny. W贸wczas niech $(x_n,y_n)$ b臋dzie ci膮giem w $X\times Y$, wtedy $x_n,y_n$ jako ci膮gi w przestrzeniach zwartych zawieraj膮 podci膮gi zbie偶ne. Rozumujemy jak wy偶ej, $x_{k_n}\to x$ jest zbie偶nym podci膮giem $x_n$, niech w贸wczas $y_{l_n}\to y$ b臋dzie zbie偶nym podci膮giem $y_{k_n}$, w贸wczas tak偶e $x_{l_n}\to x$, wtedy $(x_{l_n},y_{l_n})\to (x,y)$ jest zbie偶nym podci膮giem $(x_n,y_n)$, czyli $X\times Y$ jest zwarta. ---- W jednym z zada艅 poda艂em definicj臋 zwarto艣ci przez pokrycia, teraz przez podci膮gi zbie偶ne. Nale偶y pokaza膰, 偶e w przestrzeniach metrycznych warunki te s膮 r贸wnowa偶ne (w贸wczas oboj臋tne, kt贸ry b臋dzie definicj膮, a kt贸ry twierdzeniem). Nie zrobi艂em tego, bo zazwyczaj si臋 tego dowodzi na wyk艂adzie. Je艣li b臋dzie potrzeba, to zrobimy na forum. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj