Topologia, zadanie nr 2394
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
ka_pis post贸w: 11 |  2014-05-27 19:30:36Prosz臋 o pomoc w tych trzech zadankach: 1) Poda膰 przyk艂ady przestrzeni metrycznych $(X,d_1), (X,d_2)$ takich, aby metryki $d_1, d_2$ by艂y r贸wnowa偶ne, przestrze艅 $(X,d_1)$ by艂 zupe艂na, a przestrze艅 $(X,d_2)$ zupe艂na nie by艂a. WSKAZ脫WKA: Rozwa偶y膰 $X=R, d_1(x,y)=|x-y|, d_2(x,y)=|arctg x- arctg y|, x,y\in R$. 2) Uzasadni膰, 偶e je偶eli przestrze艅 metryczna $(X,d)$ jest zupe艂na, to $X$ jest zbiorem drugiej kategorii. WSKAZ脫WKA: Skorzysta膰 z twierdzenia Baire\'a. 3) Wykaza膰, 偶e ci膮g zdefiniowany w dowodzie twierdzenia Banach o punkcie sta艂ym jest ci膮giem Cauchy\'ego. |
tumor post贸w: 8070 | 2014-05-27 20:57:38 1. No przecie偶 odpowied藕 jest napisana. :) Zbi贸r liczb rzeczywistych z $d_1$ jest przestrzeni膮 zupe艂n膮 (-> wyk艂ad). Zbi贸r liczb rzeczywistych z $d_2$ nie jest przestrzeni膮 zupe艂n膮, rozwa偶my bowiem ci膮g $x_n=n$. Dla ka偶dego $\epsilon >0$ istnieje $M\in \mathbb{N}$, 偶e dla $m,n>M$ mamy $|arctg n -arctg m|<\epsilon$, wystarczy wzi膮膰 $M>tg(\frac{\pi-\epsilon}{2})$. Ci膮g $x_n$ jest ci膮giem Cauchy\'ego, natomiast 偶adna liczba rzeczywista nie jest jego granic膮. |
tumor post贸w: 8070 | 2014-05-27 21:03:09 2. Jedna z wersji twierdzenia Baire\'a m贸wi, 偶e w przestrzeniach zupe艂nych zbiory pierwszej kategorii s膮 brzegowe. $int X=X$, zatem $X$ nie jest brzegowy w $X$, zatem nie jest pierwszej kategorii w $X$. Trudniej b臋dzie, je艣li twierdzenie Baire\'a by艂o podane jako艣 zdecydowanie inaczej i b臋dziemy musieli zrobi膰 dow贸d, 偶e w贸wczas zbiory pierwszej kategorii b臋d膮 brzegowe. :) 3. Nie czytam w my艣lach. ;) Nie wiem, jaki ci膮g kto艣 w jakim艣 dowodzie zdefiniowa艂, je艣li nie widz臋. Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2014-05-27 21:03:57 przez tumor |
ka_pis post贸w: 11 | 2014-05-27 21:10:32 Twierdzenie Baire\'a: Za艂o偶enia: $(X,d)$ - przestrze艅 metryczna zupe艂na $A\subset X$ A - I kategorii Teza: A - brzegowy. |
ka_pis post贸w: 11 | 2014-05-27 21:16:25 A wi臋c to jest to twierdzenie. |
ka_pis post贸w: 11 | 2014-05-27 21:20:34 A do zadania 3) $X$ - zupe艂na $\Rightarrow \exists x_0\in X x_n\rightarrow^d x_0 $ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj