Algebra, zadanie nr 2450
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
kitt94 post贸w: 7 |  2014-06-14 17:05:00Mam problem z nast臋puj膮cym podpunktem w zadaniu: Naszkicowa膰 zbi贸r wszystkich liczb zespolonych z, dla kt贸rych liczba u jest czysto urojona. $u = \frac{z+4}{z-2i}$ Moje obliczenia wygl膮daj膮 w nast臋puj膮cy spos贸b: $u = \frac{z + 4}{z - 2i} = \frac{x + iy + 4}{x + iy - 2i} = \frac{(x + iy + 4)(x - iy + 2i)}{x + iy - 2i)(x - iy + 2i)} = \frac{x^{2} - ixy + 2ix + ixy + y^{2} - 2y + 4x - 4iy + 8i}{x^{2} - ixy + 2ix + ixy + y^{2} - 2y - 2ix - 2y +4}$ $u = \frac{x^{2} + 2ix + y^{2} - 2y + 4x - 4iy + 8i}{x^{2} + y^{2} - 4y +4}$ Skoro $u$ ma by膰 czysto urojona, to $Re u = 0$. Najpierw obliczam dziedzin臋: $x^{2} + y^{2} - 4y + 4 \neq 0 \Leftrightarrow (y - 2)^{2} \neq -x^2 \Leftrightarrow y - 2 \neq \sqrt{i^{2}x^{2}} \Leftrightarrow y - 2 \neq ix$ Z tego wynika: $\begin{cases} y -2 \neq 0 \\ x \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow Re u \neq 0, Im u \neq 2$ Maj膮c to na uwadze dalej rozwi膮zuj臋 g艂贸wn膮 cz臋艣膰: $\frac{x^{2} + y^{2} - 2y + 4x}{x^{2} + y^{2} - 4y + 4} = 0 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 2y + 4x = 0 \Leftrightarrow (x + 2)^{2} - 4 + (y-1)^{2} - 1 = 0$ Ostatecznie: $(x + 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 5$ Rozwi膮zaniem jest wi臋c okr膮g o 艣rodku $-2 + i$ i promieniu o d艂ugo艣ci $\sqrt{5}$. OSTATECZNIE, bior膮c pod uwag臋 dziedzin臋, wg. moich oblicze艅 jest to ww. okr膮g, z pomini臋ciem punkt贸w (0,0) oraz (0,2i). Natomiast wed艂ug klucza odpowiedzi, s膮 to punkty $(-4,0)$ oraz $(0,2i)$... Sprawdza艂em, czy faktycznie jakim艣 cudem $-4$ po podstawieniu pod $x$ powoduje wyzerowanie mianownika. Owszem, dzieje si臋 tak, ale w puntach nie nale偶膮cych do wykresu. Chcia艂bym prosi膰 o pomoc w ustaleniu, czy to ja pope艂niam gdzie艣 g艂upi b艂膮d, kt贸rego nie zauwa偶am, czy te偶 b艂膮d zawarty jest w ksi膮偶ce. |
tumor post贸w: 8070 | 2014-06-15 12:06:52 Sprawd藕my, niech $w=z-2i$, w贸wczas przyk艂ad ma posta膰 $\frac{w+4+2i}{w}$ a zapisuj膮c $w=a+bi$ dostajemy $\frac{a+4+i(b+2)}{a+bi}=\frac{(a+4+i(b+2))(a-bi)}{a^2+b^2}= \frac{(a+4)a+b(b+2)+i(-b(a+4)+a(b+2) )}{a^2+b^2}$ Mamy mie膰 $(a+4)a+b(b+2)=0$ $a^2+4a+b^2+2b=0$ $(a+2)^2+(b+1)^2=4+1$ Zatem w le偶y na okr臋gu $((-2,-1),\sqrt{5}),$ czyli z le偶y na okr臋gu $((-2,1),\sqrt{5}),$ Wyrzucamy z dziedziny $z=2i$ (mianownik si臋 zeruje). Nie wyrzucamy z dziedziny $z=0$. W liczbie $z=0$ rzeczywi艣cie $Im(z)=0$, ale c贸偶 z tego? :) Musimy natomiast wyrzuci膰 jeszcze z dziedziny takie $z$, dla kt贸rych $Im(u)=0$, bo warunek \"$u$ czysto urojona\" oznacza nie tylko $Re(u)=0$, ale te偶 $Im(u)\neq 0$ $u=0 \iff z+4=0 \iff z=-4=(-4,0)$, st膮d wyrzucenie tego punktu. ----- No i nie mieszaj zapis贸w. $a+bi=(a,b)$, nie pisze si臋 $(a,bi)$ |
kitt94 post贸w: 7 | 2014-06-15 16:11:25 Rety, ale tragedia, zapomnia艂em obliczy膰 $ Re u \neq 0 $ A偶 wstyd... Dobrze, a czy m贸g艂by艣 mi wyt艂umaczy膰 dosadniej dlaczego: \"Nie wyrzucamy z dziedziny $z=0$. W liczbie $z=0$ rzeczywi艣cie $Im(z)=0$, ale c贸偶 z tego? :)\" ? Czy ze wzgl臋du na fakt, 偶e skoro $u=\frac{z+4}{z-2i} \iff \frac{z+4}{0-2i}$ i wtedy mianownik nie zeruje si臋? Mo偶liwe, 偶e mam brak jakiej艣 elementarnej wiedzy... Wnioskuj臋 w takim razie, 偶e nieprawid艂owo obliczy艂em dziedzin臋? \"No i nie mieszaj zapis贸w. $a+bi=(a,b)$, nie pisze si臋 $(a,bi)$ Fakt, powa偶ny b艂膮d. Dzi臋kuj臋 za odpowied藕 i licz臋 na dalsz膮 pomoc. Pozdrawiam! |
tumor post贸w: 8070 | 2014-06-15 17:28:00 Liczby zespolone to pary liczb rzeczywistych $(a,b)$, kt贸re cz臋艣ciej zapisujemy $a+bi$. Tylko jedna z tych liczb nie mo偶e by膰 mianownikiem, tylko dla tej jednej liczby nieokre艣lone jest dzielenie. Ta liczba to $a+bi=0+0i$. Tylko przez t臋 liczb臋 nie wolno dzieli膰. Mo偶na bez obaw dzieli膰 przez $0-2i$, to jest dzielenie w pe艂ni wykonalne. Liczby zespolone tworz膮 cia艂o, tylko przez element neutralny dodawania (liczb臋 $0+0i$) nie wolno dzieli膰. Dlatego rozwi膮zanie jest okr臋giem, kt贸ry policzy艂e艣 poprawnie, ale z wyrzuconymi punktem $(0,2)$ czyli inaczej $2i$, bo dla $z=2i$ ca艂y mianownik jest r贸wny $0$ i mamy dzielenie przez $0$, oraz poza punktem $z=-4=(-4,0)$, bowiem takie $z$ zeruje licznik, dostajemy $u=0$. $u=0$ nie jest liczb膮 czysto urojon膮. Ma cz臋艣膰 rzeczywist膮 $0$, ale cz臋艣膰 urojon膮 te偶 ma $0$. Dlatego wyrzucaj膮 t臋 liczb臋 w rozwi膮zaniu ksi膮偶kowym. |
kitt94 post贸w: 7 | 2014-06-16 20:46:55 Rozumiem, dzi臋kuj臋 bardzo za pomoc! |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj