logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 2472

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

veronix
postów: 1
2014-06-25 17:06:06

y" -3y'=3x^{2} + 2e^{5x}

Może ktoś mnie naprowadzić na rozwiązanie?


tumor
postów: 8070
2014-08-21 22:13:46

Zaczynamy od rozwiązania równania różniczkowego jednorodnego

$y``-3y`=0$
wielomian charakterystyczny $r(r-3)$
pierwiastki $r_1=0, r_2=3$
wobec tego rozwiązaniami układu jednorodnego są funkcje
$e^{3x}$ oraz $e^0 \equiv 1$

Zatem rozwiązanie ogólne równania jednorodnego ma postać
$C_1+C_2e^{3x}$
Zastosujemy metodę uzmienniania stałych, czyli skorzystamy z faktu, że równanie niejednorodne ma rozwiązanie postaci
$\phi(x) = C_1(x)+C_2(x)e^{3x}$
szukamy funkcji $C_1(x), C_2(x)$, których pochodne spełniają układ równań
$\left[\begin{matrix} 1& e^{3x} \\ 0 &3e^{3x} \end{matrix}\right]
\left[\begin{matrix} C_1`(x) \\ C_2`(x) \end{matrix}\right]=
\left[\begin{matrix} 0 \\ 3x^2+3e^{5x} \end{matrix}\right]$

$C_1`(x)+C_2`(x)e^{3x}=0$
$3e^{3x}C_2`=3x^2+2e^{5x}$

Stąd wyliczamy (przez podstawienie) funkcje $C_1`(x)$ i $ C_2`(x),$ następnie całkujemy otrzymując $C_1(x)$ i $C_2(x)$ i dzięki temu $\phi (x)$.

Rozwiązaniem r. lin. niejednorodnego będzie suma
$c_1+c_2e^{3x}+\phi(x)$, gdzie $c_1, c_2$ oznaczają stałe





strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj