Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 2472
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
veronix postów: 1 | 2014-06-25 17:06:06 y" -3y'=3x^{2} + 2e^{5x} Może ktoś mnie naprowadzić na rozwiązanie? |
tumor postów: 8070 | 2014-08-21 22:13:46 Zaczynamy od rozwiązania równania różniczkowego jednorodnego $y``-3y`=0$ wielomian charakterystyczny $r(r-3)$ pierwiastki $r_1=0, r_2=3$ wobec tego rozwiązaniami układu jednorodnego są funkcje $e^{3x}$ oraz $e^0 \equiv 1$ Zatem rozwiązanie ogólne równania jednorodnego ma postać $C_1+C_2e^{3x}$ Zastosujemy metodę uzmienniania stałych, czyli skorzystamy z faktu, że równanie niejednorodne ma rozwiązanie postaci $\phi(x) = C_1(x)+C_2(x)e^{3x}$ szukamy funkcji $C_1(x), C_2(x)$, których pochodne spełniają układ równań $\left[\begin{matrix} 1& e^{3x} \\ 0 &3e^{3x} \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} C_1`(x) \\ C_2`(x) \end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix} 0 \\ 3x^2+3e^{5x} \end{matrix}\right]$ $C_1`(x)+C_2`(x)e^{3x}=0$ $3e^{3x}C_2`=3x^2+2e^{5x}$ Stąd wyliczamy (przez podstawienie) funkcje $C_1`(x)$ i $ C_2`(x),$ następnie całkujemy otrzymując $C_1(x)$ i $C_2(x)$ i dzięki temu $\phi (x)$. Rozwiązaniem r. lin. niejednorodnego będzie suma $c_1+c_2e^{3x}+\phi(x)$, gdzie $c_1, c_2$ oznaczają stałe |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj