logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 2482

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

sprintels
postów: 1
2014-06-28 20:26:12

Witajcie forumowicze. Mam pewien problem z załapaniem jak robi się dany rodzaj zadań, chodzi mi tu o pewien schemat jak je robić. przykład:
Zad1: Wiadomo, że pierwiastkami równania charakterystycznego pewnego równania różniczkowego liniowego, jednorodnego o stałych współczynnikach rzędu czwartego
są liczby: r1 = -3 , r2 = 0 oraz r3 = 2i. Wyznaczyć to równanie.

Zad2: Wiadomo, ze równanie charakterystyczne pewnego równania rózniczkowego liniowego,
jednorodnego o stałych współczynnikach rzedu szóstego ma pierwiastki:
r1 = -2 - pierwiastek dwukrotny oraz r2 = 2 + 3i - pierwiastek dwukrotny.
Wypisac liniowo niezalezne rozwiazania tego równania.

Jak powinno się to rozwiązywać?



tumor
postów: 8070
2014-08-21 21:00:16

1.
Równanie r. lin. o stałych współczynnikach ma postać
$y^{(4)}+ay^{(3)}+by``+cy`+dy=0$

odpowiada mu wielomian charakterystyczny
$r^4+ar^3+br^2+cr+d=0$
jeśli jest pierwiastkiem zespolonym tego wielomianu liczba $r_3=2i$, to także jest pierwiastkiem wielomianu liczba $r_4=-2i$.

Wielomian charakterystyczny ma zatem postać $r(r+3)(r-2i)(r+2i)$, co wymnażamy otrzymując współczynniki $a,b,c,d$.






tumor
postów: 8070
2014-08-21 21:00:38

2.
Ogólniej, gdy x+yi jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego, to także x-yi jest pierwiastkiem tego wielomianu.
Mamy zatem pierwiastki (wszystkie dwukrotne)
$r_1=-2$
$r_2=2+3i$
$r_3=2-3i$

pełnej metody tu nie będę rozpisywał. Zależnie od tego, czy pierwiastki są jednokrotne czy wielokrotne oraz czy są rzeczywiste czy zespolone, tworzy się z nich rozwiązania równania, które są liniowo niezależne.

a) jeśli mamy pierwiastek k-krotny rzeczywisty $r$, to rozwiązaniami są
$e^{rt},te^{rt}, t^2e^{rt},...,t^{k-1}e^{rt}$,
czyli w naszym przypadku $e^{-2t},te^{-2t}$

b) jeśli mamy pierwiastek k-krotny zespolony $a+bi$ ($b>0$, pierwiastkiem k-krotnym jest zarazem $a-bi$), to rozwiązaniami są
$e^{at}cos(bt),te^{at}cos(bt),...,t^{k-1}e^{at}cos(bt),$
$e^{at}sin(bt),te^{at}sin(bt),...,t^{k-1}e^{at}sin(bt),$
czyli w naszym przypadku
$e^{2t}cos(3t),te^{2t}cos(3t),$
$e^{2t}sin(3t),te^{2t}sin(3t)$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj