Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 2482
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
sprintels postów: 1 | 2014-06-28 20:26:12 Witajcie forumowicze. Mam pewien problem z załapaniem jak robi się dany rodzaj zadań, chodzi mi tu o pewien schemat jak je robić. przykład: Zad1: Wiadomo, że pierwiastkami równania charakterystycznego pewnego równania różniczkowego liniowego, jednorodnego o stałych współczynnikach rzędu czwartego są liczby: r1 = -3 , r2 = 0 oraz r3 = 2i. Wyznaczyć to równanie. Zad2: Wiadomo, ze równanie charakterystyczne pewnego równania rózniczkowego liniowego, jednorodnego o stałych współczynnikach rzedu szóstego ma pierwiastki: r1 = -2 - pierwiastek dwukrotny oraz r2 = 2 + 3i - pierwiastek dwukrotny. Wypisac liniowo niezalezne rozwiazania tego równania. Jak powinno się to rozwiązywać? |
tumor postów: 8070 | 2014-08-21 21:00:16 1. Równanie r. lin. o stałych współczynnikach ma postać $y^{(4)}+ay^{(3)}+by``+cy`+dy=0$ odpowiada mu wielomian charakterystyczny $r^4+ar^3+br^2+cr+d=0$ jeśli jest pierwiastkiem zespolonym tego wielomianu liczba $r_3=2i$, to także jest pierwiastkiem wielomianu liczba $r_4=-2i$. Wielomian charakterystyczny ma zatem postać $r(r+3)(r-2i)(r+2i)$, co wymnażamy otrzymując współczynniki $a,b,c,d$. |
tumor postów: 8070 | 2014-08-21 21:00:38 2. Ogólniej, gdy x+yi jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego, to także x-yi jest pierwiastkiem tego wielomianu. Mamy zatem pierwiastki (wszystkie dwukrotne) $r_1=-2$ $r_2=2+3i$ $r_3=2-3i$ pełnej metody tu nie będę rozpisywał. Zależnie od tego, czy pierwiastki są jednokrotne czy wielokrotne oraz czy są rzeczywiste czy zespolone, tworzy się z nich rozwiązania równania, które są liniowo niezależne. a) jeśli mamy pierwiastek k-krotny rzeczywisty $r$, to rozwiązaniami są $e^{rt},te^{rt}, t^2e^{rt},...,t^{k-1}e^{rt}$, czyli w naszym przypadku $e^{-2t},te^{-2t}$ b) jeśli mamy pierwiastek k-krotny zespolony $a+bi$ ($b>0$, pierwiastkiem k-krotnym jest zarazem $a-bi$), to rozwiązaniami są $e^{at}cos(bt),te^{at}cos(bt),...,t^{k-1}e^{at}cos(bt),$ $e^{at}sin(bt),te^{at}sin(bt),...,t^{k-1}e^{at}sin(bt),$ czyli w naszym przypadku $e^{2t}cos(3t),te^{2t}cos(3t),$ $e^{2t}sin(3t),te^{2t}sin(3t)$ |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj