Analiza matematyczna, zadanie nr 2569
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
mimi272 post贸w: 5 |  2014-08-11 13:35:18Hej:) Czy kto艣 m贸g艂by pom贸c mi udowodni膰 poni偶sze twierdzenie: - Kryterium d\'Alemberta-Salechowa Z dowoln膮 liczb膮 naturaln膮 l i z szeregiem $\sum a_n$ o wyrazach dodatnich stowarzyszymy ci膮g d\'Alemberta-Salechowa $A_{n}^{(l)} = \frac{a_n}{a_{n+l}} $ Je艣li $\liminf_{n} A_{n}^{(l)} > 1$, to szereg $\sum a_n$ jest zbie偶ny. Je艣li $A_{n}^{(l)}\le 1$ dla dostatecznie du偶ych n, to szereg $\sum a_n$ jest rozbie偶ny. B臋d臋 bardzo wdzi臋czna za pomoc:) |
tumor post贸w: 8070 | 2014-08-11 16:36:37 $ lim inf_n \frac{a_n}{a_{n+l}}=a>b>1$ (granica dolna r贸wna jest $a$, jest to liczba wi臋ksza od $1$, natomiast w przedziale $(1,a)$ na pewno znajdziemy liczb臋 $b$) czyli dla prawie wszystkich wyraz贸w ci膮gu mamy $\frac{a_{n+l}}{a_{n}}<\frac{1}{b}<1$ Mo偶emy dla $i\in \{1,2,...,l \}$ rozpatrywa膰 ci膮gi postaci $c^i_k=a_{i+(k-1)l}$ W贸wczas dla prawie wszystkich wyraz贸w mamy $\frac{c^i_{k+1}}{c^i_{k}}<\frac{1}{b}<1$ czyli szeregi $\sum c^i_k$ s膮 zbie偶ne (na mocy kryterium d\'Alemberta), natomiast ka偶da cz臋艣ciowa suma $\sum_{i=1}^na_i$ jest ograniczona z g贸ry przez $\sum_{i=1}^l\sum_{k=1}^\infty c^i_k$, co oznacza zbie偶no艣膰. ---- Nie wiem, co ma znaczy膰 \"dla dostatecznie du偶ych $n$\". Przy dowolnie wybranym ustalonym $n\in N$ i $l\in N$, nie ma 偶adnego znaczenia dla zbie偶no艣ci szeregu warto艣膰 $n$ pocz膮tkowych u艂amk贸w $\frac{a_n}{a_{n+l}}$ Rozwa偶my ci膮g $c_n$ polegaj膮cy na tym, 偶e dla pewnego ustalonego $l$ pierwsze $l$ wyraz贸w to $1$, nast臋pne $l$ wyraz贸w to $\frac{1}{2^1}$, nast臋pne $l$ wyraz贸w to $\frac{1}{2^2}$, nast臋pne $l$ wyraz贸w to $\frac{1}{2^3}$ i tak dalej, sum膮 szeregu jest $2*l$ (nie chce mi si臋 ci膮gu $c_n$ zapisywa膰 formalnie). W贸wczas dla dowolnie du偶ego $M$ naturalnego znajdziemy $n>M$ dla kt贸rego b臋dzie $C_n^{(l)}=\frac{c_n}{c_{n+l}}=1$, a zbie偶no艣ci to nie wyklucza. Ma艂o tego. Oczywi艣cie zbie偶ny jest szereg $\sum (\frac{2}{3})^n$, czyli suma ci膮gu polegaj膮cego na tym, 偶e pierwsze $2^1$ wyraz贸w ma warto艣膰 $\frac{1}{3^1}$, nast臋pne $2^2$ wyraz贸w ma warto艣膰 $\frac{1}{3^2}$, ...., w ko艅cu $2^p$ wyraz贸w ma warto艣膰 $\frac{1}{3^p}$, czyli mimo tego, 偶e dla ka偶dego $l$ naturalnego i dla ka偶dego $M$ naturalnego znajdziemy $n>M$ takie, 偶e $A_n^{(l)}=\frac{a_n}{a_{n+l}}=1$, a nawet znajdziemy niesko艅czenie wiele wyraz贸w $a_{n_k}$ o tej w艂asno艣ci, szereg $\sum a_n$ pozostaje zbie偶ny. Je艣li natomiast $A_n^{(l)}\le 1$ dla wszystkich $n$ od pewnego $n_0$ pocz膮wszy, to wtedy nie ma tu czego dowodzi膰, twierdzenie si臋 robi trywialne, bowiem oznacza to po prostu, 偶e pocz膮wszy od pewnego $n_0$ wszystkie $a_n$ s膮 wi臋ksze lub r贸wne $min\{a_{n_0+1},a_{n_0+2},...,a_{n_0+l},\}$, co wobec faktu, 偶e ci膮g ma wyrazy dodatnie, oznacza, 偶e nie spe艂nia warunku koniecznego zbie偶no艣ci. --- Uwaga. Jestem dzi艣 senny. Mog膮 by膰 b艂臋dy. Nale偶y to przeczyta膰 ze zrozumieniem i mnie w razie czego skrytykowa膰. |
mimi272 post贸w: 5 | 2014-08-11 23:26:27 A mo偶e jaki艣 przyk艂ad szeregu do kt贸rego mo偶na zastosowa膰 to kryterium? |
tumor post贸w: 8070 | 2014-08-11 23:48:06 Bardzo 艂atwo takie stworzy膰. We藕 dwa ci膮gi (takie, 偶eby ich szeregi by艂y zbie偶ne) i wymieszaj wyrazy (raz z jednego ci膮gu, raz z drugiego). Wtedy mo偶e si臋 zdarzy膰, 偶e zwyk艂e kryterium d\'Alemberta nie rozstrzyga. $a_n=\frac{1}{2^n}$ $b_n=\frac{1}{3^n}$ $c_n=\left\{\begin{matrix} a_\frac{n}{2} \mbox{ dla n parzystych}\\ b_{\frac{n+1}{2}} \mbox{ dla n nieparzystych} \end{matrix}\right.$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj