Analiza matematyczna, zadanie nr 2575

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
mimi272 postów: 5	2014-08-12 16:06:12 Hej. Czy ktoś mógłby podać przykład szeregu, który jest rozbieżny ale nie da się tego stwierdzić przy użyciu kryterium raabego a da się to stwierdzić dzięki kryterium schlomilcha co pozwoli nam pokazać że to drugie kryterium jest mocniejsze. Albo po prostu rozwiązać jakiś przykład przy pomocy kryterium schlomilcha? Kryterium Raabego: Z szeregiem $\sum a_n$ o wyrazach dodatnich stworzymy ciąg Raabego: $\mathcal{R}_n=n{(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)}$. Jeśli $\liminf_{n\to\infty}{\mathcal{R}_n}>1$, to szereg $\sum a_n$ jest zbieżny. Jeśli $\mathcal{R}_n\le 1$ dla dostatecznie dużych n, to szereg $\sum a_n$ jest rozbieżny. Kryterium Schlomilcha Z szeregiem $\sum a_n$ o wyrazach dodatnich stworzymy ciąg Schlomilcha: $\mathcal{S}_n=n\ln{\frac{a_n}{a_{n+1}}}$. Jeśli $\liminf\mathcal{S}_n>1$, to szereg $\sum a_n$ jest zbieżny. Jeśli $\mathcal{S}_n\le 1$ dla dostatecznie dużych n, to szereg $\sum a_n$ jest rozbieżny.

adamw88 postów: 8	2014-08-13 11:47:53 To załatwiłbym wspólną pracą. Wskazówką jest iloraz $\frac{a_{n}}{a_{n+1}}$Odszukajmy szereg o takiej własności, że $\frac{a_{n}}{a_{n+1}} = 1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}$ Wówczas kryterium Raabego zawodzi.(wszystkie nierówności powinny być ostre) $R_{n}= -1+\frac{1}{n}$Kryterium Shclomlicha da wówczas rozstrzygnięcie na stronę zbieżnego szeregu. 1.Znaleźć szereg o tym ilorazie 2. Tak zmodyfikować przykład, aby otrzymać szereg rozbieżny

tumor postów: 8070	2014-08-13 12:35:31 (!!!!!!!!!!!!!!! Zauważamy chyba, że $1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\le 1$ Stąd szereg o własności zadanej przez adamw88 jest rozbieżny na mocy kryterium d'Alemberta nawet, cóż dopiero na mocy kryteriów subtelniejszych. A kryterium Raabego niby nie rozstrzyga? Cóż za brednie. !!!!!!!!!!!!!!!) Jeśli $\frac{a_n}{a_{n+1}}=1-\frac{n-1}{n^2}$ to $\lim_{n \to \infty}nln(1-\frac{n-1}{n^2})= \lim_{n \to \infty}ln(1-\frac{n-1}{n^2})^n= \lim_{n \to \infty}ln(1-\frac{n-1}{n^2})^{\frac{n^2}{n-1}\cdot \frac{n-1}{n^2}\cdot n}=-1$ Jakież zatem daje rozstrzygnięcie kryterium Schlomilcha? Takie jak Raabego. Bo mamy $\frac{a_n}{a_{n+1}}>1$. Rozbieżny! Nie spełnia warunku koniecznego zbieżności! Poza tym nawet zmiana znaku na + w proponowanej własności nic nie da, o bo w granicy powyżej zmienią się tylko znaki z - na +, co da nierozstrzyganie tak w kryterium Raabego, jak w kryterium Schlomilcha. adamw88, mylisz na tym forum ludzi. Regularnie. ---- Jeśli chodzi o samo rozwiązanie zadania, to znalezienie szeregu zbieżnego, dla którego jedno z kryteriów rozstrzyga, wcale nie dowodzi, że kryterium jest mocniejsze. Dowód, że kryterium Schlomilcha nie jest słabsze, wyglądałby tak: $liminf_n R_n>1 \Rightarrow$ $liminf_n R_n>a>1 \Rightarrow$ dla $n>n_0$ mamy $R_n>a>1$ $n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)>a>1$ $\frac{a_n}{a_{n+1}}>(1+\frac{a}{n})>(1+\frac{1}{n})$ $nln(\frac{a_n}{a_{n+1}})>ln((1+\frac{a}{n}))^n>ln(1+\frac{1}{n})^n$ przy tym skoro po przejściu do granicy mamy $\lim_{n \to \infty} ln((1+\frac{a}{n}))^n= a>1= \lim_{n \to \infty}ln((1+\frac{1}{n}))^n$, to dla $m>m_0$ mamy $ln((1+\frac{a}{m}))^m >1= \lim_{n \to \infty}ln((1+\frac{1}{n}))^n$ wobec czego także $mln(\frac{a_m}{a_{m+1}})>ln((1+\frac{a}{m_0+1}))^{m_0+1}>1$ czyli $liminf_n S_n>1$ Wówczas dopiero wystarczy znaleźć jeden szereg, co do którego kryterium R. zawodzi, a S. rozstrzyga. Przy tym nie jest to szereg o własności podanej przez adamw88 (Skądinąd, gdy adamw88 podaje tę własność, to już nie trzeba szeregu "odszukiwać", bo ta własność dla dowolnie wybranego dodatniego $a_1$ DEFINIUJE JUŻ rekurencyjnie cały szereg. U licha.)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj