Analiza matematyczna, zadanie nr 2576

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
mat12 postów: 221	2014-08-15 19:22:07 Znaleźć pole powierzchni figury $\{(x,y) \in \mathbb{R}^2:x \ge (y-1)^2 oraz x+y \le 3\}$. Domyślam się, że należy rozwiązać to jakąś całką podwójną ale trzeba wiedzieć jakie są granice całkowania i funkcja podcałkowa a ja niestety mam z tym problem jak do tego dojść (nie mam wyobraźni przestrzennej żeby 'ujrzeć' tę figurę) Może dla niektórych to zadanie to banał ale proszę zrozumieć, że nie wszyscy są tacy mądrzy. Bardzo proszę o pomoc :)

tumor postów: 8070	2014-08-15 23:29:50 Nie wymaga całki podwójnej. Tylko całki. Nie wymaga wyobraźni przestrzennej, to figura płaska. Kojarzysz parabole i proste? Tutaj jedna z krzywych wyznaczających figurę jest parabolą, druga jest prostą. Może pamiętasz ze szkoły $y=(x-2)^2$ Byłaby to standardowa parabola $y=x^2$ przesunięta o jedną jednostkę w prawo. Gdybyśmy rozważyli nierówność $y \ge (x-1)^2$ to oznaczałaby ona parabolę i wszelkie punkty "nad" parabolą, czyli o tej samej współrzędnej $x$ co któryś punkt paraboli, ale większej współrzędnej $y$ niż ma ten punkt. W zadaniu masz $x \ge (y-1)^2$, co jest tym samym tylko po zamianie osi. Standardowo patrząc ($y$ oś pionowa, $x$ oś pozioma) mamy tu do czynienia z parabolą $x=y^2$, czyli położoną na boku, a $x=(y-1)^2$ jest przesunięciem jej o jednostkę w górę. $x \ge (y-1)^2$ oznacza tę parabolę i wszystkie punkty o większych współrzędnych $x$ niż pewien punkt paraboli, przy zachowaniu tej samej współrzędnej $y$. :) --- $x+y=3$ to prosta, w postaci kierunkowej $y=-x+3$ Gdy mamy $y \le -x+3$ oznacza to półpłaszczyznę "pod" tą prostą (wraz z prostą). --- Jeśli sobie narysujesz figurę, to otrzymasz granice całkowania i funkcję podcałkową. Możesz podzielić figurę na części, jeśli Ci to życie ułatwi. Prosta i parabola przecinają się. Punkty przecięcia wyliczamy układem $\left\{\begin{matrix} x+y=3 \\ x=(y-1)^2 \end{matrix}\right.$ Punkty to $(1,2)$ i $(4,-1)$. Jeśli masz narysowane to widzisz, że dla $x\in (0,1)$ i "górę" figury i jej "dół" wyznaczają fragmenty paraboli. Górne ramię paraboli ma równanie $y=\sqrt{x}+1$ Dolne ramię paraboli ma równanie $y=-\sqrt{x}+1$ Natomiast dla $x\in (1, 4)$ figura znajduje się między prostą (u góry) a dolnym ramieniem paraboli (na dole). Można zatem całkować $\int_0^1 (\sqrt{x}+1-(-\sqrt{x}+1))dx+ \int_1^2 (-x+3-(-\sqrt{x}+1))dx$ ---- To by było wyjście trochę licealne, czyli traktujące zawsze $y$ jak funkcję argumentu $x$. Można jednak popatrzeć na to jak na funkcję $x$ argumentu $y$, czyli $x(y)$. W tym celu w wyobraźni obracamy układ albo obracamy kartkę. :) Zauważamy, że figury dotyczą $y\in (-1,1)$, obecnie zaś górną krawędź wytycza prosta $x=-y+3$, dolną natomiast parabola $x=(y-1)^2$ Wystarczy zatem całka $\int_{-1}^1 (-y+3-((y-1)^2))dy$ ---- Przemyśl sens odejmowania zawsze tej funkcji, która stanowi dolną krawędź figury, od funkcji stanowiącej górną krawędź. ---- Jeśli nie masz wyobraźni (w co uwierzę, skoro nie widzisz, czy coś jest płaskie czy przestrzenne :P, to sobie narysuj. Naprawdę. Rysowanie nie boli. ---- Najlepiej policzyć dla wprawy obie całki. ---- Gdy obszar jest skomplikowany (tu nie), to z powodzeniem można go ciąć. Czasem trzeba.

mat12 postów: 221	2014-08-17 10:34:42 Dziękuję tumor bardzo za obszerne wytłumaczenie

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj