Analiza matematyczna, zadanie nr 2576
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
mat12 post贸w: 221 |  2014-08-15 19:22:07Znale藕膰 pole powierzchni figury $\{(x,y) \in \mathbb{R}^2:x \ge (y-1)^2 oraz x+y \le 3\}$. Domy艣lam si臋, 偶e nale偶y rozwi膮za膰 to jak膮艣 ca艂k膮 podw贸jn膮 ale trzeba wiedzie膰 jakie s膮 granice ca艂kowania i funkcja podca艂kowa a ja niestety mam z tym problem jak do tego doj艣膰 (nie mam wyobra藕ni przestrzennej 偶eby \'ujrze膰\' t臋 figur臋) Mo偶e dla niekt贸rych to zadanie to bana艂 ale prosz臋 zrozumie膰, 偶e nie wszyscy s膮 tacy m膮drzy. Bardzo prosz臋 o pomoc :) |
tumor post贸w: 8070 | 2014-08-15 23:29:50 Nie wymaga ca艂ki podw贸jnej. Tylko ca艂ki. Nie wymaga wyobra藕ni przestrzennej, to figura p艂aska. Kojarzysz parabole i proste? Tutaj jedna z krzywych wyznaczaj膮cych figur臋 jest parabol膮, druga jest prost膮. Mo偶e pami臋tasz ze szko艂y $y=(x-2)^2$ By艂aby to standardowa parabola $y=x^2$ przesuni臋ta o jedn膮 jednostk臋 w prawo. Gdyby艣my rozwa偶yli nier贸wno艣膰 $y \ge (x-1)^2$ to oznacza艂aby ona parabol臋 i wszelkie punkty \"nad\" parabol膮, czyli o tej samej wsp贸艂rz臋dnej $x$ co kt贸ry艣 punkt paraboli, ale wi臋kszej wsp贸艂rz臋dnej $y$ ni偶 ma ten punkt. W zadaniu masz $x \ge (y-1)^2$, co jest tym samym tylko po zamianie osi. Standardowo patrz膮c ($y$ o艣 pionowa, $x$ o艣 pozioma) mamy tu do czynienia z parabol膮 $x=y^2$, czyli po艂o偶on膮 na boku, a $x=(y-1)^2$ jest przesuni臋ciem jej o jednostk臋 w g贸r臋. $x \ge (y-1)^2$ oznacza t臋 parabol臋 i wszystkie punkty o wi臋kszych wsp贸艂rz臋dnych $x$ ni偶 pewien punkt paraboli, przy zachowaniu tej samej wsp贸艂rz臋dnej $y$. :) --- $x+y=3$ to prosta, w postaci kierunkowej $y=-x+3$ Gdy mamy $y \le -x+3$ oznacza to p贸艂p艂aszczyzn臋 \"pod\" t膮 prost膮 (wraz z prost膮). --- Je艣li sobie narysujesz figur臋, to otrzymasz granice ca艂kowania i funkcj臋 podca艂kow膮. Mo偶esz podzieli膰 figur臋 na cz臋艣ci, je艣li Ci to 偶ycie u艂atwi. Prosta i parabola przecinaj膮 si臋. Punkty przeci臋cia wyliczamy uk艂adem $\left\{\begin{matrix} x+y=3 \\ x=(y-1)^2 \end{matrix}\right.$ Punkty to $(1,2)$ i $(4,-1)$. Je艣li masz narysowane to widzisz, 偶e dla $x\in (0,1)$ i \"g贸r臋\" figury i jej \"d贸艂\" wyznaczaj膮 fragmenty paraboli. G贸rne rami臋 paraboli ma r贸wnanie $y=\sqrt{x}+1$ Dolne rami臋 paraboli ma r贸wnanie $y=-\sqrt{x}+1$ Natomiast dla $x\in (1, 4)$ figura znajduje si臋 mi臋dzy prost膮 (u g贸ry) a dolnym ramieniem paraboli (na dole). Mo偶na zatem ca艂kowa膰 $\int_0^1 (\sqrt{x}+1-(-\sqrt{x}+1))dx+ \int_1^2 (-x+3-(-\sqrt{x}+1))dx$ ---- To by by艂o wyj艣cie troch臋 licealne, czyli traktuj膮ce zawsze $y$ jak funkcj臋 argumentu $x$. Mo偶na jednak popatrze膰 na to jak na funkcj臋 $x$ argumentu $y$, czyli $x(y)$. W tym celu w wyobra藕ni obracamy uk艂ad albo obracamy kartk臋. :) Zauwa偶amy, 偶e figury dotycz膮 $y\in (-1,1)$, obecnie za艣 g贸rn膮 kraw臋d藕 wytycza prosta $x=-y+3$, doln膮 natomiast parabola $x=(y-1)^2$ Wystarczy zatem ca艂ka $\int_{-1}^1 (-y+3-((y-1)^2))dy$ ---- Przemy艣l sens odejmowania zawsze tej funkcji, kt贸ra stanowi doln膮 kraw臋d藕 figury, od funkcji stanowi膮cej g贸rn膮 kraw臋d藕. ---- Je艣li nie masz wyobra藕ni (w co uwierz臋, skoro nie widzisz, czy co艣 jest p艂askie czy przestrzenne :P, to sobie narysuj. Naprawd臋. Rysowanie nie boli. ---- Najlepiej policzy膰 dla wprawy obie ca艂ki. ---- Gdy obszar jest skomplikowany (tu nie), to z powodzeniem mo偶na go ci膮膰. Czasem trzeba. |
mat12 post贸w: 221 | 2014-08-17 10:34:42 Dzi臋kuj臋 tumor bardzo za obszerne wyt艂umaczenie  |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj