Analiza matematyczna, zadanie nr 2579
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
mat12 post贸w: 221 |  2014-08-17 13:18:29Sprawdzi膰 czy funkcja $f(x,y)= \left\{\begin{matrix} |x_1-y_1| dla x_2=y_2 \\ 2 dla x_2 \ne y_2 \end{matrix}\right.$ rozwa偶ana dla $x=(x_1,x_2), y=(y_1,y_2) \in [0,1]^2$ jest metryk膮 na tym kwadracie. W przypadku odpowiedzi pozytywnej, narysowa膰 kul臋 otwart膮 oraz domkni臋t膮 o 艣rodku (0,0) i promieniu 1. ------------------------------------------------------------------ Sprawdzam z definicji metryki: 1. $f(x,y)=0 \iff |x_1-y_1|=0 \iff x_1-y_1=0 \iff x_1=y_1$ + z tre艣ci zadania $x_2=y_2$ z tego wynika $x=y$ czyli OK 2. $f(x,y)=|x_1-y_1|=|-(y_1-x_1)|=|y_1-x_1|=f(y,x)$ czyli te偶 OK 3. $f(x,y) \le f(x,z)+f(z,y)$ $ |x_1-y_1| \le |x_1-z_1|+|z_1-y_1|$ $|x_1-z_1+z_1-y_1| \le |x_1-z_1|+ |z_1-y_1|$ czyli funkcja jest metryk膮. $K((0,0),1)=\{ y_1 \in [0,1] : |0-y_1|<1\}=\{y_1 \in [0,1]:y_1<1\}$ $\overline{K}((0,0),1)=\{y_1 \in [0,1]:y_1 \le 1\}$ ----------------------------------------------------------------- i teraz pytanie: czy to w og贸le jest dobrze (co z drug膮 cz臋艣ci膮 wzoru funkcji?) a je艣li tak to jak narysowa膰 te kule ??? |
tumor post贸w: 8070 | 2014-08-17 16:52:20 No w艂a艣nie, co z drug膮 cz臋艣ci膮 wzoru funkcji? :) 1. $f(x,y)= 0 \iff |x_1-y_1|=0 \vee 2 = 0 \iff |x_1-y_1|=0 \wedge x_2=y_2 \iff (x_1,x_2)=(y_1,y_2)$ 2. Je艣li $x_2=y_2$ to $|x_1-y_1|=|y_1-x_1|$, czyli $f(x,y)=f(y,x)$ je艣li $x_2\neq y_2$ to $2=2$ czyli $f(x,y)=f(y,x)$ 3. mamy pokaza膰, czy $f(x,y)\le f(x,z)+f(z,y)$ Tu s膮 mo偶liwe r贸偶ne opcje: a) $x_2=y_2=z_2$, w贸wczas liczymy tak jak Ty b) $x_2=z_2 \neq y_2$, w贸wczas $f(x,y)=2$, $f(x,z)=|x_1-z_1|, f(z,y)=2$ oczywi艣cie $2\le |x_1-z_1|+2$ c) $x_2=y_2 \neq z_2$, w贸wczas $f(x,y)=|x_1-y_1|, f(x,z)=2, f(z,y)=2$ i pytamy, czy musi by膰 $|x_1-y_1| \le 2+2$ musi? d) nast臋pne przypadki... ------ Najlepiej zanim si臋 zacznie pisa膰, ju偶 zna膰 odpowied藕. Nie zawsze to 艂atwo i nie zawsze si臋 uda, ale dobrze widzie膰, o co pytaj膮 (tak jak niedawno o ca艂k臋). Je艣li $x_2=y_2$, to znaczy, 偶e drug膮 wsp贸艂rz臋dn膮 punkty maj膮 identyczn膮, wtedy por贸wnuje si臋 pierwsze wsp贸艂rz臋dne. Je艣li $x_2\neq y_2$ to \"odleg艂o艣膰\" wynosi $2$ niezale偶nie od tego, jakie s膮 pierwsze wsp贸艂rz臋dne. Mog膮 wi臋c by膰 bardzo bliskie, a odleg艂o艣膰 wci膮偶 $2$, mog膮 by膰 kosmicznie dalekie, odleg艂o艣膰 wci膮偶 $2$. Widzisz, jak to dzia艂a? Wyobra藕 sobie szerokie torowisko i sporo (bo w sumie continuum) r贸wnoleg艂ych poci膮g贸w. Je艣li z jednego poci膮gu idziesz do niego samego bez u偶ycia teleportu, to czas (czas to te偶 miara \"odleg艂o艣ci\") zajmuje Ci na przyk艂ad tyle sekund ile metr贸w dzieli te miejsca w poci膮gu, czyli $|x_1-y_1|$ Je艣li jednak chcesz si臋 dosta膰 z jednego poci膮gu do drugiego, to masz teleport, kt贸ry niezale偶nie czy poci膮gi jad膮 przy sobie czy jad膮 daleko od siebie zajmuje $2$ sekundy. Warunek tr贸jk膮ta m贸wi, 偶e je艣li id膮c z x do y zmusimy si臋 jeszcze do p贸j艣cia przez z, to nam si臋 trasa nie skraca (a by膰 mo偶e wyd艂u偶a). W przypadku naszych poci膮g贸w, je艣li idziemy w jednym poci膮gu z x do $y$ przez $z$ i nie korzystamy z teleportu to tak b臋dzie. Je艣li korzystamy z teleportu ju偶 mi臋dzy $x$ a $y$, a zamienimy to na dwa teleporty $x \rightarrow z$ i $z\rightarrow y$, to czas te偶 nie zmaleje (tego przypadku nie opisa艂em). Natomiast je艣li idziemy w poci膮gu z $x$ do $y$, ale zamienimy t臋 tras臋 na teleportowanie si臋 do innego poci膮gu, czyli $x\rightarrow z$, a potem odteleportowanie si臋 do wyj艣ciowego $z\rightarrow y$, to zamiast czasu $|x_1-y_1|$ otrzymamy czas $4$. A przecie偶 $4$ mo偶e by膰 kr贸tszy! Czyli mo偶e si臋 zdarzy膰, 偶e wybieraj膮c tras臋 przez konkretny $z$ przy艣pieszamy j膮 sobie w stosunku do standardowej trasy z $x$ do $y$. A to nie odpowiada definicji metryki! 艁amie warunek tr贸jk膮ta. |
mat12 post贸w: 221 | 2014-08-17 18:22:44 Dzi臋kuj臋 bardzo!!! czyli mam rozumie膰, 偶e ta funkcja nie jest metryk膮, bo nie jest spe艂niony warunek tr贸jk膮ta? |
tumor post贸w: 8070 | 2014-08-17 19:28:02 Nie, bo zrobi艂em b艂膮d :P Funkcja tej postaci (\"klamerkowa\") daje warto艣ci zale偶ne od sytuacji (tu od r贸wno艣ci lub nier贸wno艣ci $x_2,y_2$). Sprawdzaj膮c warunki musisz sprawdza膰 wszystkie mo偶liwe sytuacje. W warunkach 1,2 by艂y po dwie sytuacje, bo dwa punkty maj膮 albo r贸wne drugie wsp贸艂rz臋dne albo nier贸wne. W warunku 3, gdyby to by艂a metryka, trzeba by by艂o pokaza膰, 偶e warunek zachodzi w ka偶dej mo偶liwej sytuacji (trzy r贸wne, dwa z trzech r贸wne a trzeci inny, trzy r贸偶ne), natomiast by pokaza膰, 偶e metryk膮 nie jest, wystarczy zauwa偶y膰, 偶e cho膰 w jednej sytuacji, dla jakich艣 pojedynczych x,y,z warunek spe艂niony nie b臋dzie. Tu \"pokaza艂em\", 偶e warunek nie jest spe艂niony, bo my艣la艂em o $R^2$, ale przecie偶 w zadaniu jest tylko $[0;1]^2$ :P c) W takim kwadracie na pewno $|x_1-y_1|\le 2+2$ :) d) przypadek 偶e $x_2,y_2,z_2$ s膮 parami r贸偶ne $f(x,y)\le f(x,z)+f(z,y)$ zachodzi, poniewa偶 $2\le 2+2$ Przepraszam, 偶e wprowadzi艂em Ci臋 w b艂膮d :) ---- Je艣li rozpatrzyli艣my wszystkie przypadki (a czy wszystkie? :P), i w ka偶dym warunek tr贸jk膮ta by艂 zachowany, to funkcja jest metryk膮. Kule zrobione s膮 niedobrze, $K((0,0),1)=\{(y_1,y_2): y_2=0, y_1\in [0,1], |y_1-0|<1\}=\{(y_1,y_2): y_2=0, y_1\in [0,1), \}$ $\overline{K}((0,0),1)=\{(y_1,y_2): y_2=0, y_1\in [0,1], |y_1-0|\le1\}=\{(y_1,y_2): y_2=0, y_1\in [0,1]\}$ Kula to zbi贸r punkt贸w, a nie tylko niekt贸rych wsp贸艂rz臋dnych, st膮d tu kule s膮 zbiorami punkt贸w $(y_1,y_2)$. $y_2$ nie mo偶e by膰 dowolne (gdy si臋 o nim wcale nie wspomni, to znaczy艂oby, 偶e mo偶e by膰 dowolne), poniewa偶 gdyby si臋 r贸偶ni艂o od $0$, to mieliby艣my $y_2\neq 0$, czyli liczyliby艣my $f((0,0)$,$(y_1,y_2))=2>1$ zatem takie punkty nie nale偶膮 ani do kuli otwartej, ani domkni臋tej. Wystarczy si臋 nam ograniczy膰 do punkt贸w, w kt贸rych $y_2=0$, a zatem do wzoru $f((0,0),(y_1,y_2))=y_1$ Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2014-08-17 19:31:54 przez tumor |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj