Analiza matematyczna, zadanie nr 2579

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
mat12 postów: 221	2014-08-17 13:18:29 Sprawdzić czy funkcja $f(x,y)= \left\{\begin{matrix} \|x_1-y_1\| dla x_2=y_2 \\ 2 dla x_2 \ne y_2 \end{matrix}\right.$ rozważana dla $x=(x_1,x_2), y=(y_1,y_2) \in [0,1]^2$ jest metryką na tym kwadracie. W przypadku odpowiedzi pozytywnej, narysować kulę otwartą oraz domkniętą o środku (0,0) i promieniu 1. ------------------------------------------------------------------ Sprawdzam z definicji metryki: 1. $f(x,y)=0 \iff \|x_1-y_1\|=0 \iff x_1-y_1=0 \iff x_1=y_1$ + z treści zadania $x_2=y_2$ z tego wynika $x=y$ czyli OK 2. $f(x,y)=\|x_1-y_1\|=\|-(y_1-x_1)\|=\|y_1-x_1\|=f(y,x)$ czyli też OK 3. $f(x,y) \le f(x,z)+f(z,y)$ $ \|x_1-y_1\| \le \|x_1-z_1\|+\|z_1-y_1\|$ $\|x_1-z_1+z_1-y_1\| \le \|x_1-z_1\|+ \|z_1-y_1\|$ czyli funkcja jest metryką. $K((0,0),1)=\{ y_1 \in [0,1] : \|0-y_1\|<1\}=\{y_1 \in [0,1]:y_1<1\}$ $\overline{K}((0,0),1)=\{y_1 \in [0,1]:y_1 \le 1\}$ ----------------------------------------------------------------- i teraz pytanie: czy to w ogóle jest dobrze (co z drugą częścią wzoru funkcji?) a jeśli tak to jak narysować te kule ???

tumor postów: 8070	2014-08-17 16:52:20 No właśnie, co z drugą częścią wzoru funkcji? :) 1. $f(x,y)= 0 \iff \|x_1-y_1\|=0 \vee 2 = 0 \iff \|x_1-y_1\|=0 \wedge x_2=y_2 \iff (x_1,x_2)=(y_1,y_2)$ 2. Jeśli $x_2=y_2$ to $\|x_1-y_1\|=\|y_1-x_1\|$, czyli $f(x,y)=f(y,x)$ jeśli $x_2\neq y_2$ to $2=2$ czyli $f(x,y)=f(y,x)$ 3. mamy pokazać, czy $f(x,y)\le f(x,z)+f(z,y)$ Tu są możliwe różne opcje: a) $x_2=y_2=z_2$, wówczas liczymy tak jak Ty b) $x_2=z_2 \neq y_2$, wówczas $f(x,y)=2$, $f(x,z)=\|x_1-z_1\|, f(z,y)=2$ oczywiście $2\le \|x_1-z_1\|+2$ c) $x_2=y_2 \neq z_2$, wówczas $f(x,y)=\|x_1-y_1\|, f(x,z)=2, f(z,y)=2$ i pytamy, czy musi być $\|x_1-y_1\| \le 2+2$ musi? d) następne przypadki... ------ Najlepiej zanim się zacznie pisać, już znać odpowiedź. Nie zawsze to łatwo i nie zawsze się uda, ale dobrze widzieć, o co pytają (tak jak niedawno o całkę). Jeśli $x_2=y_2$, to znaczy, że drugą współrzędną punkty mają identyczną, wtedy porównuje się pierwsze współrzędne. Jeśli $x_2\neq y_2$ to "odległość" wynosi $2$ niezależnie od tego, jakie są pierwsze współrzędne. Mogą więc być bardzo bliskie, a odległość wciąż $2$, mogą być kosmicznie dalekie, odległość wciąż $2$. Widzisz, jak to działa? Wyobraź sobie szerokie torowisko i sporo (bo w sumie continuum) równoległych pociągów. Jeśli z jednego pociągu idziesz do niego samego bez użycia teleportu, to czas (czas to też miara "odległości") zajmuje Ci na przykład tyle sekund ile metrów dzieli te miejsca w pociągu, czyli $\|x_1-y_1\|$ Jeśli jednak chcesz się dostać z jednego pociągu do drugiego, to masz teleport, który niezależnie czy pociągi jadą przy sobie czy jadą daleko od siebie zajmuje $2$ sekundy. Warunek trójkąta mówi, że jeśli idąc z x do y zmusimy się jeszcze do pójścia przez z, to nam się trasa nie skraca (a być może wydłuża). W przypadku naszych pociągów, jeśli idziemy w jednym pociągu z x do $y$ przez $z$ i nie korzystamy z teleportu to tak będzie. Jeśli korzystamy z teleportu już między $x$ a $y$, a zamienimy to na dwa teleporty $x \rightarrow z$ i $z\rightarrow y$, to czas też nie zmaleje (tego przypadku nie opisałem). Natomiast jeśli idziemy w pociągu z $x$ do $y$, ale zamienimy tę trasę na teleportowanie się do innego pociągu, czyli $x\rightarrow z$, a potem odteleportowanie się do wyjściowego $z\rightarrow y$, to zamiast czasu $\|x_1-y_1\|$ otrzymamy czas $4$. A przecież $4$ może być krótszy! Czyli może się zdarzyć, że wybierając trasę przez konkretny $z$ przyśpieszamy ją sobie w stosunku do standardowej trasy z $x$ do $y$. A to nie odpowiada definicji metryki! Łamie warunek trójkąta.

mat12 postów: 221	2014-08-17 18:22:44 Dziękuję bardzo!!! czyli mam rozumieć, że ta funkcja nie jest metryką, bo nie jest spełniony warunek trójkąta?

tumor postów: 8070	2014-08-17 19:28:02 Nie, bo zrobiłem błąd :P Funkcja tej postaci ("klamerkowa") daje wartości zależne od sytuacji (tu od równości lub nierówności $x_2,y_2$). Sprawdzając warunki musisz sprawdzać wszystkie możliwe sytuacje. W warunkach 1,2 były po dwie sytuacje, bo dwa punkty mają albo równe drugie współrzędne albo nierówne. W warunku 3, gdyby to była metryka, trzeba by było pokazać, że warunek zachodzi w każdej możliwej sytuacji (trzy równe, dwa z trzech równe a trzeci inny, trzy różne), natomiast by pokazać, że metryką nie jest, wystarczy zauważyć, że choć w jednej sytuacji, dla jakichś pojedynczych x,y,z warunek spełniony nie będzie. Tu "pokazałem", że warunek nie jest spełniony, bo myślałem o $R^2$, ale przecież w zadaniu jest tylko $[0;1]^2$ :P c) W takim kwadracie na pewno $\|x_1-y_1\|\le 2+2$ :) d) przypadek że $x_2,y_2,z_2$ są parami różne $f(x,y)\le f(x,z)+f(z,y)$ zachodzi, ponieważ $2\le 2+2$ Przepraszam, że wprowadziłem Cię w błąd :) ---- Jeśli rozpatrzyliśmy wszystkie przypadki (a czy wszystkie? :P), i w każdym warunek trójkąta był zachowany, to funkcja jest metryką. Kule zrobione są niedobrze, $K((0,0),1)=\{(y_1,y_2): y_2=0, y_1\in [0,1], \|y_1-0\|<1\}=\{(y_1,y_2): y_2=0, y_1\in [0,1), \}$ $\overline{K}((0,0),1)=\{(y_1,y_2): y_2=0, y_1\in [0,1], \|y_1-0\|\le1\}=\{(y_1,y_2): y_2=0, y_1\in [0,1]\}$ Kula to zbiór punktów, a nie tylko niektórych współrzędnych, stąd tu kule są zbiorami punktów $(y_1,y_2)$. $y_2$ nie może być dowolne (gdy się o nim wcale nie wspomni, to znaczyłoby, że może być dowolne), ponieważ gdyby się różniło od $0$, to mielibyśmy $y_2\neq 0$, czyli liczylibyśmy $f((0,0)$,$(y_1,y_2))=2>1$ zatem takie punkty nie należą ani do kuli otwartej, ani domkniętej. Wystarczy się nam ograniczyć do punktów, w których $y_2=0$, a zatem do wzoru $f((0,0),(y_1,y_2))=y_1$ Wiadomość była modyfikowana 2014-08-17 19:31:54 przez tumor

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj