Analiza matematyczna, zadanie nr 2603

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
shaddix postów: 1	2014-08-28 14:24:25 Potrzebuję pomocy gdzie trzeba rozwiazać równanie niejednorodne $y"+9y= \frac{1}{cos3x} $

tumor postów: 8070	2014-08-28 18:49:42 Rozwiązujemy jednorodne Wielomian charakterystyczny ma postać $r^2+9=0$ Ma pierwiastki $\pm 3i$, zatem rozwiązaniem ogólnym równania jednorodnego jest $c_1sin3x+c_2cos3x$ Zastosujemy metodę uzmienniania stałych. $\left[\begin{matrix} sin3x & cos3x \\ 3cos3x& -3sin3x \end{matrix}\right]* \left[\begin{matrix} c_1`(x) \\ c_2`(x) \end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix} 0 \\ \frac{1}{cos3x} \end{matrix}\right]$ $c_1`(x)sin3x+c_2`(x)cos3x=0$ $c_1`(x)3cos3x-c_2`(x)3sin3x=\frac{1}{cos3x}$ Z pierwszego równania mamy $c_1`(x)=-c_2`(x)\frac{cos3x}{sin3x}$ Zatem drugie przyjmuje postać $-c_2`(x)\frac{cos3x}{sin3x}(x)3cos3x-c_2`(x)3sin3x=\frac{1}{cos3x}$ $c_2`(x)(\frac{3cos^23x}{sin3x}+\frac{3sin^23x}{sin3x})=\frac{-1}{cos3x}$ $c_2`(x)(\frac{3}{sin3x})=\frac{-1}{cos3x}$ $c_2`(x)=\frac{1}{9}\frac{-3sin3x}{cos3x}$ z czego otrzymujemy przez całkowanie $c_2(x),$ natomiast podstawiając $c_2`(x)$ do pierwszego równania dostajemy $c_1`(x)=\frac{1}{3}\frac{sin3x}{cos3x}\frac{cos3x}{sin3x}=\frac{1}{3}$ stąd przez całkowanie otrzymamy $c_1(x)$. Wyliczenie $c_1(x)$ i $c_2(x)$ nie stanowi problemu, zatem tego nie robię. Rozwiązaniem szczególnym równania niejednorodnego będzie $\varphi(x)=c_1(x)sin3x+c_2(x)cos3x$, oczywiście po podstawieniu FUNKCJI $c_1(x)$ i $c_2(x)$. Rozwiązaniem ogólnym równania niejednorodnego jest funkcja $y(x)=C_1sin3x+C_2cos3x+\varphi(x)$, gdzie $C_1,C_2$ są stałymi.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj