Matematyka dyskretna, zadanie nr 2622

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
sylwia9405 postów: 21	2014-09-05 11:19:58 Oblicz pole obszaru ograniczonego wykresami funkcji: a) F(x)=-x^3+2x^2+8x g(x)=5x dla x \ge0 b) y=x^2-2x-3 y=x+1 y=-3x+9 dla X=(-1,3)

tumor postów: 8070	2014-09-05 18:35:20 a) rozwiązujemy $ -x^3+2x^2+8x=5x$ $-x^3+2x^2+3x=0$ $-x(x^2-2x-3)=0$ $-x(x-3)(x+1)=0$ Wykresy stykają się dla x=0 i x=3, czyli wyznaczają pewien obszar ograniczony. Dla $x\in (0,3)$ mamy $f(x)>g(x)$ czyli pole obszaru to $\int_0^3(f(x)-g(x))dx= \int_0^3(-x^3+2x^2+3x)dx= [\frac{-x^4}{4}+\frac{2x^3}{3}+\frac{3}{2}x^2]_0^3= -\frac{81}{4}+18+\frac{54}{4}=18-\frac{27}{4}=11\frac{1}{4}$

tumor postów: 8070	2014-09-05 18:43:10 b) dobrze widzieć wykresy i figurę, którą liczymy. Mamy tam 3 funkcje $f(x)=x^2-2x-3$ $g(x)=x+1$ $h(x)=-3x+9$ x=-1 jest w zadaniu wzięty dlatego, że f,g przecinają się w $(-1,0)$, x=3 jest wzięty dlatego, że f,h przecinają się w $(3,0)$ Policzmy jeszcze punkt przecięcia g,h $x+1=-3x+9$ $x=2$ $g(x)=3$ czyli g,h przecinają się w $(2,3)$ Pole figury to $\int_{-1}^2(g(x)-f(x))dx+\int_2^3(h(x)-f(x))dx$ Tak jak w przykładzie wcześniej jest to po prostu całka z wielomianu, nic prostszego w matematyce nie ma. (wykresy funkcji f,g,h mają jeszcze inne punkty wspólne i dzielą w sumie płaszczyznę na więcej obszarów. Ale podejrzewam, że chodzi o pole tego obszaru, który jako jedyny ma brzeg złożony z fragmentów wykresów wszystkich trzech funkcji)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj