Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 2623

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
karolinasw postów: 8	2014-09-05 11:24:52 Rozwiązać równania: 1) y'/y = (lny-lnx)/x 2) y'+ y/x = e^x 3) y'+ 2y/x = x^2 4) y'-y=y^2 * e^3x

tumor postów: 8070	2014-09-05 17:13:26 1) $\frac{y`}{y}\frac{ln\frac{y}{x}}{x}$ $y`=\frac{y}{x}*ln\frac{y}{x}$ Podstawiamy $y=ux$ $y`=u+xu`$ Otrzymujemy równanie $u+xu`=ulnu$ $xu`=u(lnu-1)$ $\frac{du}{u(lnu-1)}=\frac{dx}{x}$ Jest równaniem o zmiennych rozdzielonych i całkuje się to łatwo. Po przecałkowaniu wracamy na zmienną $y$. Jakby były problemy, to napisz tu swoją wersję.

tumor postów: 8070	2014-09-05 17:47:18 2) zaczniemy od równania jednorodnego $y`+\frac{y}{x}=0$ $y`=-\frac{y}{x}$ $\frac{dy}{y}=-\frac{dx}{x}$ $ln\|y\|=-ln\|x\|+c_1$ $y=\frac{c_2}{x}$ Potraktujmy $c_2$ jak funkcję $c_2(x)$, wtedy $y=\frac{c_2(x)}{x}$ $y`=\frac{xc_2`(x)-c_2(x)}{x^2}$ co podstawiamy do równania niejednorodnego $\frac{xc_2`(x)-c_2(x)}{x^2}+\frac{c_2(x)}{x^2}=e^x$ stąd $\frac{xc_2`(x)}{x^2}=e^x$ $c_2`(x)=xe^x$ co się całkuje łatwo (prawa strona przez części, gdyby były wątpliwości) $c_2(x)=xe^x-e^x$ Ostatecznym rozwiązaniem równania różniczkowego jest $y=\frac{c_2}{x}+\frac{xe^x-e^x}{x}$ --- Zwracam uwagę, że stosuję oznaczenie $c_2$ i $c_2(x)$. Pierwsze to stała, drugie funkcja. Nie są tym samym.

tumor postów: 8070	2014-09-05 18:08:45 3) jak w przykładzie wcześniej zaczniemy od równania jednorodnego $ \frac{dy}{dx}=-\frac{2y}{x}$ $\frac{dy}{u}=-2\frac{dx}{x}$ $ln\|y\|=-2ln\|x\|+c_1$ $y=\frac{c_2}{x^2}$ Następnie metoda uzmienniania stałej $y=\frac{c_2(x)}{x^2}$ $y`=\frac{c_2`(x)x^2-2xc_2(x)}{x^4}$ $\frac{2y}{x}=\frac{2c_2(x)}{x^3}=\frac{2xc_2(x)}{x^4}$ $y`+\frac{2y}{x}=\frac{c_2`(x)x^2-2xc_2(x)}{x^4}+\frac{2xc_2(x)}{x^4}=\frac{c_2`(x)}{x^2}=x^2$ $c_2`(x)=x^4$ $c_2(x)=\frac{x^5}{5}$ Ostatecznie $y=\frac{c_2}{x^2}+\frac{1x^5}{5x^2}$

tumor postów: 8070	2014-09-05 18:25:47 4) Mamy tutaj równanie Bernoulliego, w którym stosujemy podstawienie $z=y^{1-r}$ dla $r=2$, czyli $z=y^{-1}$ $z`=-y^{-2}y`$ Nasze równanie jest postaci $y`-y=y^2e^{3x}$ po podzieleniu obustronnie przez $y^2$ mamy $\frac{y`}{y^2}-y^{-1}=e^{3x}$ czyli $-z`-z=e^{3x}$ $z`+z=-e^{3x}$ To równanie niejednorodne, czyli należy je rozwiązywać jak 2) i 3). Spróbuj, a jeśli się nie uda, dokończymy.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj