Algebra, zadanie nr 2629
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
jezus post贸w: 2 |  2014-09-06 18:33:49px + y + z = 1 x + py + z = p x + y + pz = p^2 a) dla jakich warto艣ci parametru p uk艂ad r贸wna艅 ma dok艂adnie jedno rozwiazanie b) Okre艣l liczb臋 rozwi膮za艅 w pozosta艂ych przypadkach. c) Zauwa偶 偶e ja偶de z powy偶szych r贸wna艅 opisuje pewn膮 p艂aszczyzn臋 w R^3. Podaj reprezentacj臋 geometryczn膮 uzyskanych wynik贸w. Prosz臋 o pomoc. Niebawem egzamin poprawkowy a ruszy膰 tego do ko艅ca nie umiem |
tumor post贸w: 8070 | 2014-09-06 19:02:18 Mo偶emy sobie policzy膰 wyznacznik macierzy uk艂adu $det \left[\begin{matrix} p&1&1 \\ 1&p&1 \\ 1&1&p \end{matrix}\right] = p^3+2-3p=(p-1)(p^2+p-2)=(p-1)(p-1)(p+2)$ Wyznacznik zeruje si臋 dla $p=1$ lub $p=-2$. Je艣li $p=1$, to wszystkie trzy r贸wnania s膮 identyczne, opisuj膮 zatem trzy p艂aszczyzny pokrywaj膮ce si臋. Je艣li $p=-2$, to wida膰, 偶e 偶adne dwa r贸wnania nie opisuj膮 tej samej p艂aszczyzny (mo偶na to sprawdzi膰 minorami albo przez rz膮d macierzy), ani nawet p艂aszczyzn r贸wnoleg艂ych. Policzmy sobie rz膮d macierzy uzupe艂nionej uk艂adu: $ \left[\begin{matrix} -2&1&1&1 \\ 1&-2&1&-2 \\ 1&1&-2&4 \end{matrix}\right]$ $ \left[\begin{matrix} 0&3&-3&9 \\ 0&-3&3&-6 \\ 1&1&-2&4 \end{matrix}\right]$ Mo偶emy tu zauwa偶y膰, 偶e dwa pierwsze r贸wnania s膮 sprzeczne, mo偶emy te偶 policzy膰 rz膮d jeszcze kawa艂ek: $ \left[\begin{matrix} 0&0&0&3 \\ 0&-3&3&0 \\ 1&0&0&0 \end{matrix}\right]$ Rz膮d jest r贸wny $3$. Rz膮d macierzy uk艂adu nie jest r贸wny rz臋dowi macierzy uzupe艂nionej, czyli wniosek ten sam - uk艂ad jest sprzeczny. Zatem dla $p=1$ mamy p艂aszczyzny pokrywaj膮ce si臋, dla $p=-2$ mamy uk艂ad sprzeczny. Dodajmy, 偶e ka偶da z p艂aszczyzn przecina dwie pozosta艂e, oczywi艣cie dwie p艂aszczyzny przecinaj膮 si臋 wzd艂u偶 prostej, otrzymujemy trzy proste. Proste te musz膮 by膰 r贸wnoleg艂e. Je艣li potrzebujesz dok艂adniejszego obrazu geometrycznego, trzeba policzy膰 k膮ty mi臋dzy p艂aszczyznami. Dla pozosta艂ych $p$ wyznacznik macierzy uk艂adu jest niezerowy, czyli rz膮d jest r贸wny rz臋dowi macierzy uzupe艂nionej i r贸wny ilo艣ci niewiadomych, co oznacza, 偶e istnieje jedno rozwi膮zanie, czyli trzy p艂aszczyzny przecinaj膮 si臋 w jednym punkcie. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj