Algebra, zadanie nr 2629

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
jezus postów: 2	2014-09-06 18:33:49 px + y + z = 1 x + py + z = p x + y + pz = p^2 a) dla jakich wartości parametru p układ równań ma dokładnie jedno rozwiazanie b) Określ liczbę rozwiązań w pozostałych przypadkach. c) Zauważ że jażde z powyższych równań opisuje pewną płaszczyznę w R^3. Podaj reprezentację geometryczną uzyskanych wyników. Proszę o pomoc. Niebawem egzamin poprawkowy a ruszyć tego do końca nie umiem

tumor postów: 8070	2014-09-06 19:02:18 Możemy sobie policzyć wyznacznik macierzy układu $det \left[\begin{matrix} p&1&1 \\ 1&p&1 \\ 1&1&p \end{matrix}\right] = p^3+2-3p=(p-1)(p^2+p-2)=(p-1)(p-1)(p+2)$ Wyznacznik zeruje się dla $p=1$ lub $p=-2$. Jeśli $p=1$, to wszystkie trzy równania są identyczne, opisują zatem trzy płaszczyzny pokrywające się. Jeśli $p=-2$, to widać, że żadne dwa równania nie opisują tej samej płaszczyzny (można to sprawdzić minorami albo przez rząd macierzy), ani nawet płaszczyzn równoległych. Policzmy sobie rząd macierzy uzupełnionej układu: $ \left[\begin{matrix} -2&1&1&1 \\ 1&-2&1&-2 \\ 1&1&-2&4 \end{matrix}\right]$ $ \left[\begin{matrix} 0&3&-3&9 \\ 0&-3&3&-6 \\ 1&1&-2&4 \end{matrix}\right]$ Możemy tu zauważyć, że dwa pierwsze równania są sprzeczne, możemy też policzyć rząd jeszcze kawałek: $ \left[\begin{matrix} 0&0&0&3 \\ 0&-3&3&0 \\ 1&0&0&0 \end{matrix}\right]$ Rząd jest równy $3$. Rząd macierzy układu nie jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej, czyli wniosek ten sam - układ jest sprzeczny. Zatem dla $p=1$ mamy płaszczyzny pokrywające się, dla $p=-2$ mamy układ sprzeczny. Dodajmy, że każda z płaszczyzn przecina dwie pozostałe, oczywiście dwie płaszczyzny przecinają się wzdłuż prostej, otrzymujemy trzy proste. Proste te muszą być równoległe. Jeśli potrzebujesz dokładniejszego obrazu geometrycznego, trzeba policzyć kąty między płaszczyznami. Dla pozostałych $p$ wyznacznik macierzy układu jest niezerowy, czyli rząd jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej i równy ilości niewiadomych, co oznacza, że istnieje jedno rozwiązanie, czyli trzy płaszczyzny przecinają się w jednym punkcie.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj