logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 2652

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

tomix1992
postów: 18
2014-09-16 10:45:59

Udowodnić, że $<(1234567)>$ nie jest podgrupą normalną grupy $S_{7}$ (twierdzenie Sylowa)


sebnorth
postów: 4
2014-09-18 19:51:58

Grupa $S_7$ ma 7! elementów. Maksymalny wykładnik n taki, że $7^n$ dzieli 7! wynosi 1. Wobec tego 7-podgrupy Sylowa mają rząd równy $7^1$.

Jeśli $H = <(1234567)>$ to H jest 7-podgrupą Sylowa bo rząd H jest 7. Jeśli wezmę permutację $x\in S_7$ to grupa $xHx^{-1}$ jest izomorficzna z H czyli jest również 7-pogrupą Sylowa.

Normalność H oznaczałaby że $xHx^{-1} = H$. Weźmy $x = (12)$.

$(12)(1234567)(12)^{-1} = (13456721) \notin H$.

Zatem H nie jest normalna.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj