logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 2677

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

dzoannam89
postów: 34
2014-10-08 18:01:03

Witam. Proszę o pomoc w takim zadaniu:
czy podany zbiór:
a) otwarty?
b) ograniczony?
Odpowiedź uzasadnij.
$B=\left\{ x \in R^2:0<[x_1+x_2] \le 3 \right\}$


tumor
postów: 8070
2014-10-08 18:33:46

Wypada podać topologię. Nie jest podana, czyli zakładamy topologię naturalną w $R^2$.

Co znaczy nawias $[]$ użyty w środku? Całość? Czy to po prostu nawias $()$?


dzoannam89
postów: 34
2014-10-08 18:40:52

Tak topologia jest naturalna. Ten nawias to całość.


tumor
postów: 8070
2014-10-08 19:34:13

Narysujmy prostą
$x+y=1$, czyli $y=1-x $i prostą
$x+y=4$, czyli $y=4-x$

Jeśli punkt $(x,y)$ jest nad pierwszą z prostych lub na niej, to $x+y\ge 1$, czyli $[x+y]>0$, natomiast jeśli pod tą prostą, to $x+y<1$, czyli także $[x+y]<1$.

Analogicznie, jeśli punkt jest pod drugą prostą, to $x+y<4$, czyli $[x+y]<4$, natomiast jeśli jest nad drugą prostą lub na niej, to $x+y\ge 4$, czyli także $[x+y]\ge 4$.

Czyli nasz zbiór $B$ to inaczej $\{(x,y): 1\le x+y <4 \}$

Zbiór nie jest ograniczony, bo zawiera dla przykładu wszystkie punkty postaci $(2+x,-x)$, czyli każda ze współrzędnych może być dowolna, a tę drugą wówczas da się doliczyć.
(gdy zbiór jest ograniczony, to każda ze współrzędnych jest ograniczona, i to i z góry i z dołu, a tutaj tak nie jest)

Zbiór nie jest otwarty, bo jego dopełnienie nie jest domknięte. Dla przykładu $(0,4)$ nie należy do $B$, ale każde jego otwarte otoczenie ma punkty należące do $B$.

---
zamiast $x_1,x_2$ pisałem $x,y$ dla wygody, bo mnie męczy indeksowanie.


dzoannam89
postów: 34
2014-10-08 19:38:56

super ślicznie dziękuję:)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj