logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Statystyka, zadanie nr 2688

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

nurek
postów: 4
2014-10-13 11:21:27

Witam,
Potrzebuje pomocy przy rozwiazaniu zadania.
Mógłby ktoś mi to wytłumaczyć/nakierować ewentualnie rozwiązać?

Rozważmy sieć utworzona przez n urzadzen.
Przy starcie systemu urzadzenia otrzymuja w sposób losowy unikalne adresy od 0 do n - 1.
Po krótkotrwalym zaniku zasilania wznowiono dzialanie sieci i ponownie rozdzielono ta sama pule
adresowa.
Oznaczmy przez Pn prawdopodobienstwo, ze istnieje urzadzenie, które otrzymalo taki sam adres,
jaki mialo przed awaria. Oblicz $ \lim_{x \to \infty} Pn $


tumor
postów: 8070
2014-10-13 17:38:56

Przetasowanie adresów to permutacja.
Permutacja, która nie ma punktów stałych to tzw. nieporządek.

Niech $C(n)$ oznacza liczbę permutacji n-elementowych, a $D(n)$ liczbę nieporządków n-elementowych. Wówczas $Pn=(1-\frac{D(n)}{C(n)})$.

Masz, podejrzewam, policzyć granicę $
\lim_{n \to \infty}(1-\frac{D(n)}{C(n)})$

W takim układzie należy dość sprytnie wybrać jeden z WIELU możliwych wzorów na liczbę n-elementowych nieporządków. Wikipedia ma ich sporą listę. Są wzory, które rzeczywiście ułatwiają liczenie i są takie, które komplikują. :)


nurek
postów: 4
2014-10-13 20:29:33



Czy ten wzór jest odpowiedni?


tumor
postów: 8070
2014-10-13 20:52:13

Jest superowy.


nurek
postów: 4
2014-10-13 21:15:21

Mógłbyś mi wyjaśnić jak to użyć? :/

Wychodzi mi za każdym razem, że Pn jest liczbą całkowitą czyli błąd :/

Potrzebuje to zadanie na wczoraj :/


tumor
postów: 8070
2014-10-13 21:21:32

Jaką znów całkowitą?

$Pn=(1-\frac{n!\sum_{i=0}^{n}\frac{(-1)^i}{i!}}{n!})=(1-\sum_{i=0}^{n}\frac{(-1)^i}{i!})$

Wypada jeszcze obliczyć tę śliczną sumę, a nawet

$\lim_{n \to \infty}\sum_{i=0}^{n}\frac{(-1)^i}{i!}$ czyli
$\sum_{i=0}^{\infty}\frac{(-1)^i}{i!}$

W tym celu proponuję przypomnieć sobie szereg Taylora i rozwinąć względem a=1, szukając funkcji, która wszystkie pochodne w x=1 ma równe 1. :)

Miałem naprowadzić na rozwiązanie, a nie je całe podać krok po kroku, nie? Zacznij od funkcji, która ma w 1 wszystkie pochodne równe 1. ;)


nurek
postów: 4
2014-10-13 21:46:06

No tak. Ale nie wyobrażałem sobie, że te zadanie będzie tak skomplikowane. Nie przerabiałem jeszcze na studiach szeregu Taylora :/


tumor
postów: 8070
2014-10-14 06:08:49

Marudzisz.

Do wyboru masz liczyć ten szereg taki, jaki jest, albo użyć innych wzorów. ;)
Pochodne raczej już były, więc trzeba było zrobić to, co mówiłem. :)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj