logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 2718

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

vp_213
postów: 1
2014-10-21 21:09:39

Czy poniższy dowód jest poprawny?:
(udowodnić, że:)
$
\lim_{x \to 0}cosx=1
$
Czyli szukamy takiego epsilona, żeby 0<|x|<epsilon przekształcając nierówność |cosx-1|<delta (def. Cauchy'ego):
$|cosx-1|<\delta$
$|cos|x|-1|<\delta$
$cos|x|>1-\delta$
dla delty > 2 nierówność zawsze spełniona, a dla delty z przedziału (0,2>:
$arccos(cos(|x|)<arccos(1-\delta)$
$|x|<arccos(1-\delta)$
czyli udowodnione, bo za epsilon można podstawić:
$
\epsilon = arccos(1-\delta)
$

Czy to jest okej?

Wiadomość była modyfikowana 2014-10-21 21:57:41 przez vp_213

tumor
postów: 8070
2016-06-25 21:04:29

Rozumiem, że mamy w zadaniu NIE wiedzieć, że cosinus jest ciągły i przyjmuje w 0 wartość 1. To trochę dziwi, że tego nie wiemy, a mówimy o funkcji odwrotnej do cosinusa. A na jakim przedziale jest określona? A skąd wiemy, na jakim przedziale jest określona, jeśli nie znamy wartości cosinusa?

Wobec tego sama idea dowodu w oparciu o mniej oczywiste własności cosinusa, żeby pokazać bardziej oczywiste własności, jest nietrafiona.

Skorzystać by trzeba z samej definicji cosinusa. Możemy liczyć sumę szeregu albo korzystać z ujęcia geometrycznego funkcji cos dla dowolnego kąta.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj