Algebra, zadanie nr 2732

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
sylwusiabuzka postów: 11	2014-10-24 19:07:09 Oznaczmy przez v1=(1,0,1,-1), v2=(2,0,2,-2), v3=(1,2,-1,-1), v4=(1,-4,5,-1) wektory przestrzeni \R5. Niech V=lin(v1,v2,v3,v4). a) Wybrać spośród wektorów v1,v2,v3,v4 bazę przestrzeni V. b) podać współrzędne wektorów v1,v2,v3,v4 w znalezionej w a) bazie Podpunkt a udało mi się zrobić, wyszło mi że bazą są wektory pierwszy i trzeci. Utknęłam na podpunkcie b. Obliczyłam że v1=2v2 i v4=3v1-2v3 jednak nie wiem co z tym dalej zrobić. Według odpowiedz powinno wyjść v1(1,0) v2(2,0) v3(0,1) v4(3,-2)ale nie ma pojęcia jak do tego dojść. Jakaś wskazówka? Wiadomość była modyfikowana 2014-10-24 19:16:58 przez sylwusiabuzka

tumor postów: 8070	2014-10-24 19:16:20 Po pierwsze bazą nie są "wektory pierwszy i trzeci", ale dowolne dwa wektory liniowo niezależne (o ile wyszło nam, że rząd macierzy stworzonej z wektorów $v_1,v_2,v_3,v_4$ jest równy dwa). Pierwszy i trzeci są liniowo niezależne, zatem ok, jest to JEDNA Z MOŻLIWYCH BAZ. Wyznaczenie współrzędnych wektora w danej bazie sprowadza się do wyznaczenia współczynników kombinacji liniowej, czyli rozwiązania układu: $ a\left(\begin{matrix} 1 \\0\\1 \\ -1 \end{matrix}\right)+ b\left(\begin{matrix} 1 \\2\\-1 \\ -1 \end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix} 2 \\0\\2 \\ -2 \end{matrix}\right)$ (tu rozwiązaniem jest $a=2, b=0$, czyli $(2,0)$) $a\left(\begin{matrix} 1 \\0\\1 \\ -1 \end{matrix}\right)+ b\left(\begin{matrix} 1 \\2\\-1 \\ -1 \end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix} 1 \\-4\\5 \\ -1 \end{matrix}\right)$ (tu rozwiązaniem jest $a=3,b=-2$, czyli $(3,-2)$) --- zakładam, że umiesz rozwiązywać proste układy równań. (Ponadto odpowiednie twierdzenia algebry zapewniają, że układ ma rozwiązanie jednoznaczne, ale tym się nie będziemy tu zajmować)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj