logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 2738

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 865
2014-10-25 22:01:43

Zbadac istnienie granic:
a) $\lim_{x \to 0 y \to 0}$ $\frac{y^{3}}{x^{4}+sin^{2}y}$

b) $\lim_{x \to 0 y \to 0}$ sin$\frac{1}{x^{2}+y^{2}}$

c) $\lim_{x \to 0 y \to 0}$ $\frac{1}{x^{8}+y^{8}}$$e^{\frac{-1}{x^{2}+y^{2}}}$

Wskazowka do c) Skorzystac ze wzoru $\lim_{u \to +\infty}$ $u^{k}e^{-u}$=0 przy k dowolnym.

Nie potrafie przejsc do odpowiedniej postaci.


tumor
postów: 8070
2014-10-26 00:20:24

b) nie istnieje w sposób dość oczywisty, tak jak nie istnieje granica $sin\frac{1}{n}$




tumor
postów: 8070
2014-10-26 00:23:54

a) istnieje i ma się dobrze
$\lim_{y \to 0}\frac{y^3}{sin^2y}=0$
natomiast
$0 \le sin^2y\le sin^2y+x^4$, czyli
$0 \le |\frac{y^3}{x^4+sin^2y}|\le |\frac{y^3}{sin^2y}| $
granica z zadania też będzie 0


geometria
postów: 865
2014-10-26 12:13:15

a w c) jak to przeksztalcic?


tumor
postów: 8070
2014-10-26 14:26:36

w c) tak przekształcić, żeby

$\frac{1}{(x^2+y^2)^n} \le \frac{1}{x^8+y^8} \le \frac{1}{(x^2+y^2)^k} $

wówczas rozwiązanie znajdziemy z twierdzenia o 3 ciągach (funkcjach).

Potrzeba znaleźć k,n i to nawet nie takie, żeby wzór obowiązywał dla nich zawsze, wystarczy takie, żeby obowiązywał w pewnym otoczeniu punktu (0,0). Możemy zatem przyjąć na przykład
$|x|<\frac{1}{2}$
$|y|<\frac{1}{2}$

Nierówność jest prawdziwa dla $n=4$ i dla $k=1$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj