Topologia, zadanie nr 2763
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
kamileg10 post贸w: 30 |  2014-11-01 18:09:54Witam mam ogromny problem z topologi膮 i tym zadaniem, a mianowicie: Udowodnij, 偶e ka偶dy podzbi贸r przestrzeni $C[0,1]$ otwarty w metryce p(f,g) = $\int_{a}^{b}|f(t)-g(t)|dt$ jest tak偶e otwarty w metryce d(f,g)=$x\in[0,1] sup{|f(x)-g(x)|}$ , ale nie na odwr贸t. Bardzo prosz臋 o pomoc. |
tumor post贸w: 8070 | 2014-11-02 08:51:16 Mam nadziej臋, 偶e w og贸le rozumiesz poj臋cie zbioru otwartego w przestrzeni metrycznej. Po drugie podejrzewam, 偶e $a,b$ w ca艂ce w metryce $p$ s膮 ustalone, bo inaczej by to sensu nie mia艂o. Uznam, 偶e $a=0, b=1$, w innym przypadku dow贸d b臋dzie trzeba nieco przerobi膰, ale to szczeg贸艂 techniczny. Je艣li $A$ jest otwartym zbiorem w sensie metryki $p$, to dla $f\in A$ istnieje kula $K_p(f,r)\subset A$ (o dodatnim promieniu $r$ i o 艣rodku w $f$). Zauwa偶my, 偶e je艣li $g\in K_d(f,r)\subset A$ (w sensie metryki $d$, czyli $sup_{x\in [0;1]}|f(x)-g(x)|<r)$, to $\int_0^1|f(x)-g(x)|\le (1-0)sup_{x\in [0;1]}|f(x)-g(x)|<r$, zatem $g\in K_d(f,r)\subset A$, czyli $A$ jest otwarty w sensie metryki $d$. 呕eby pokaza膰, 偶e w drug膮 stron臋 rzecz nie zachodzi, wystarczy nam przyk艂ad, ale naj艂atwiej zrobi膰 przyk艂ad jak si臋 zrozumie, czemu rzecz nie dzia艂a. Ca艂ka to pole mi臋dzy wykresami, a supremum r贸偶nicy to kres g贸rny odleg艂o艣ci mi臋dzy wykresami (po wsp贸艂rz臋dnych). Je艣li wykresy s膮 blisko, to w konsekwencji ca艂ka r贸偶nicy jest niewielka. Ale w drug膮 stron臋 to nie dzia艂a, niewielka ca艂ka r贸偶nicy wcale nie musi sprawia膰, 偶e wykresy s膮 blisko (mog膮 od siebie odstawa膰 dowolnie daleko, byle na odpowiednio ma艂ym odcinku). I tak te偶 montujemy nasz przyk艂ad. Niech $f(x)\equiv 0$, natomiast $g_n(x)=\left\{\begin{matrix} -n^3x+n \mbox{ dla } x\in [0,\frac{1}{n^2}]\\ 0 \mbox{ dla } x\in (\frac{1}{n^2},1] \end{matrix}\right.$ W贸wczas $p(f,g_n)=\frac{1}{2n}$ $d(f,g_n)=n$. I c贸偶 to oznacza? Je艣li we藕miemy kul臋 otwart膮 $K_d(f,r)$ o dowolnym dodatnim sko艅czonym promieniu $r$, to tylko sko艅czona ilo艣膰 funkcji $g_n$ znajdzie si臋 w tej kuli. Natomiast dla dowolnie ma艂ego dodatniego $\epsilon$ w kuli $K_p(f,\epsilon)$ znajduje si臋 niesko艅czenie wiele funkcji $g_n$. Zatem w kuli o (niezerowym) sko艅czonym promieniu w sensie $d$ nie zawiera si臋 偶adna kula o (niezerowym) promieniu w sensie $p$. Czyli w szczeg贸lno艣ci kula w sensie $d$, jako zbi贸r otwarty w sensie $d$, nie jest otwarta w sensie $p$. ---- No i jeszcze szczeg贸艂. Podejrzewam, 偶e wyk艂adowca nie zada艂 tego w sobot臋 wieczorem na poniedzia艂ek rano. :) Je艣li masz zamiar prosi膰 ludzi \"bo si臋 艣pieszysz\", to postaraj si臋 nie zmarnowa膰 ca艂ego tygodnia (albo dw贸ch) na czekanie i daj zadanie od razu. Taki zmarnowany tydzie艅 pokazuje raczej, jaki masz luz i nadmiar czasu. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj