logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Topologia, zadanie nr 2763

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

kamileg10
postów: 30
2014-11-01 18:09:54

Witam
mam ogromny problem z topologią i tym zadaniem, a mianowicie:

Udowodnij, że każdy podzbiór przestrzeni $C[0,1]$ otwarty w metryce p(f,g) = $\int_{a}^{b}|f(t)-g(t)|dt$ jest także otwarty w metryce d(f,g)=$x\in[0,1] sup{|f(x)-g(x)|}$ , ale nie na odwrót.

Bardzo proszę o pomoc.



tumor
postów: 8070
2014-11-02 08:51:16

Mam nadzieję, że w ogóle rozumiesz pojęcie zbioru otwartego w przestrzeni metrycznej.
Po drugie podejrzewam, że $a,b$ w całce w metryce $p$ są ustalone, bo inaczej by to sensu nie miało. Uznam, że $a=0, b=1$, w innym przypadku dowód będzie trzeba nieco przerobić, ale to szczegół techniczny.

Jeśli $A$ jest otwartym zbiorem w sensie metryki $p$, to dla $f\in A$ istnieje kula $K_p(f,r)\subset A$ (o dodatnim promieniu $r$ i o środku w $f$).

Zauważmy, że jeśli $g\in K_d(f,r)\subset A$ (w sensie metryki $d$, czyli $sup_{x\in [0;1]}|f(x)-g(x)|<r)$, to
$\int_0^1|f(x)-g(x)|\le (1-0)sup_{x\in [0;1]}|f(x)-g(x)|<r$,
zatem $g\in K_d(f,r)\subset A$, czyli $A$ jest otwarty w sensie metryki $d$.

Żeby pokazać, że w drugą stronę rzecz nie zachodzi, wystarczy nam przykład, ale najłatwiej zrobić przykład jak się zrozumie, czemu rzecz nie działa.
Całka to pole między wykresami, a supremum różnicy to kres górny odległości między wykresami (po współrzędnych).
Jeśli wykresy są blisko, to w konsekwencji całka różnicy jest niewielka. Ale w drugą stronę to nie działa, niewielka całka różnicy wcale nie musi sprawiać, że wykresy są blisko (mogą od siebie odstawać dowolnie daleko, byle na odpowiednio małym odcinku).

I tak też montujemy nasz przykład.
Niech $f(x)\equiv 0$, natomiast $g_n(x)=\left\{\begin{matrix} -n^3x+n \mbox{ dla } x\in [0,\frac{1}{n^2}]\\ 0 \mbox{ dla } x\in (\frac{1}{n^2},1] \end{matrix}\right.$

Wówczas $p(f,g_n)=\frac{1}{2n}$
$d(f,g_n)=n$.
I cóż to oznacza? Jeśli weźmiemy kulę otwartą $K_d(f,r)$ o dowolnym dodatnim skończonym promieniu $r$, to tylko skończona ilość funkcji $g_n$ znajdzie się w tej kuli. Natomiast dla dowolnie małego dodatniego $\epsilon$ w kuli $K_p(f,\epsilon)$ znajduje się nieskończenie wiele funkcji $g_n$. Zatem w kuli o (niezerowym) skończonym promieniu w sensie $d$ nie zawiera się żadna kula o (niezerowym) promieniu w sensie $p$. Czyli w szczególności kula w sensie $d$, jako zbiór otwarty w sensie $d$, nie jest otwarta w sensie $p$.


----

No i jeszcze szczegół.
Podejrzewam, że wykładowca nie zadał tego w sobotę wieczorem na poniedziałek rano. :) Jeśli masz zamiar prosić ludzi "bo się śpieszysz", to postaraj się nie zmarnować całego tygodnia (albo dwóch) na czekanie i daj zadanie od razu. Taki zmarnowany tydzień pokazuje raczej, jaki masz luz i nadmiar czasu.


strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj